FONCTION SPECIALE

Source: http://www.peiresc.org/DINER/Lexique.pdf

 

Les fonctions spéciales sont des fonctions qui se rencontrent souvent dans les problèmes de la physique mathématique, en particulier dans la résolution des équations différentielles aux dérivées partielles linéaires par la méthode de séparation des variables ou par la recherche des fonctions propres d'opérateurs différentiels , et qui ne peuvent s'exprimer en terme de fonctions élémentaires et doivent être définies à l'aide de séries ou d'intégrales. Les fonctions spéciales peuvent être définies et classifiées grâce à la théorie de la représentation des groupes, car les opérateurs différentiels de la physique mathématique présentent habituellement des propriétés d'invariance spécifiques. Ainsi le laplacien est invariant par rapport aux déplacements de l'espace euclidien et le dalembertien.est invariant par rapport aux transformations du groupe de Lorentz….Ainsi si un opérateur linéaire est invariant par rapport à un certain groupe de transformation, on peut montrer que les opérations de ce groupe transforment ses fonctions propres en fonctions propres de même valeur propre. De ce fait les éléments du groupe sont représentés par les opérateurs sur l'espace des fonctions propres. Les fonctions propres qui font intervenir les fonctions spéciales sont liées à la représentation du groupe qui laisse l'opérateur invariant.