Généralités sur les fonctions
Publié le 13/05/2012
Extrait du document
Sens de variation d’une fonction :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
• f est croissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a ≤ b alors f(a) ≤ f(b).
f est décroissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a ≤ b alors f(a) ≥ f(b).
• f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) <
f(b).
f est strictement décroissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) >
f(b).
• f est monotone sur I si et seulement si f est croissante sur I ou f est décroissante sur I.
f est strictement monotone sur I si et seulement si f est strictement croissante sur I ou f est
strictement décroissante
sur I.
Extrema des fonctions :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0 un réel de I.
• On dit que f admet un maximum global en x0 (ou encore que f(x0) est le maximum de la fonction
f sur
l’intervalle I si et seulement si pour tout réel x de I, on a f(x) ≤ f(x0).
On dit que f admet un minimum global en x0 (ou encore que f(x0) est le minimum de la fonction f
sur
l’intervalle I si et seulement si pour tout réel x de I, on a f(x) ≥ f(x0).
• On dit que f admet un maximum local en x0 (ou encore que f(x0) est un maximum local de la
fonction f sur
l’intervalle I si et seulement si il existe un intervalle ouvert J contenant x0 tel que, pour tout réel x
de I ∩ J,
on a f(x) ≤ f(x0).
On dit que f admet un minimum global en x0 (ou encore que f(x0) est le minimum de la fonction f
sur
l’intervalle I si et seulement si il existe un intervalle ouvert J contenant x0 tel que, pour tout réel x
de I ∩ J,
on a f(x) ≥ f(x0).
Symétries, fonction paires et impaires :
Pour tout réel h tel que a + h est dans Df, si on a :
f(a − h) = f(a + h)
alors la droite d'équation x=a est axe de symétrie de la courbe de f.
Pour tout réel h tel que a + h est dans Df, si on a :
[f(a − h) + f(a + h)]/2= b
alors le point I(a;b) est centre de symétrie de la courbe de f.
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