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Corrigé.

EXERCICE 1 .

Pour tous réels a et b : (a – b)² = a²  2ab + b² a étant un réel positif : ( a )² = a A = 16 - 6 7 et B = 7 - 3.

Calculer A² et B².

Que peut -on en déduire pour A et B ? A² = ( 16 - 6 7 )² = 16 - 6 7 et B² = ( 7 - 3)² = 7² - 6 7 + 9 = 16 - 6 7.

A² = B² donc A et B sont égaux ou opposés.

or, par définition d’une racine, A > 0 et B < 0 car 7< 3 donc A = -B.

EXERCICE 2.

Données : ABCD est un carré de côté 8 cm donc AB = BC = CD = DA = 8 cm M Î [AB], N Î [BC], P Î [DC] et Q Î [AD].

AM = BN = CP = DQ = x.

S(x) est l’aire du carré MNPQ AM = x et AB = 8 et M Î [AB] donc MB = 8 - x et de même, NC = PD = QA = 8 - x.

1.

Donner l’ensemble de définition I de la fonction S et calculer S(x).

I = [0 ; 8] car : M Î [AB] donc 0 £ AM £ AB c’est à dire 0 £ x £ 8 S(x) = MN² or, d’après le théorème de Pythagore d ans le triangle BMN rectangle en B MN² = MB² + BN² par suite : S(x) = (8 - x)² + x² S(x) = 2x² - 16x + 64 Donc
x  I , S(x) = 2x² - -- - 16x + 64 2.Montrons que sur I, S(x) = 2(x - -- - 4)² + 32 : ceci est vrai, en effet : 2(x - 4)² + 32 = 2(x² - 8x + 16) + 32 = 2x² - 16x + 64 obtenu précédemment.

a.

En déduire la valeur minimale de S et la valeur de x pour laquelle elle est atteinte.

S(x) est la somme de deux carrés donc S(x) est minimale quand chacun des deux est le plus petit possible.

32 est une constante donc la valeur de S(x) dépend de (x - 4)² dont la valeur minimale est 0 quand x = 4 donc : pour x = 4, S(x) prend sa valeur minimale 32 cm².

Ou encore :
x  I, 2 x 4  0,   32      :
x  I, 2 x 4  32 32 ,donc 32 est un minorant de S(x), et S(4)=32 Ainsi 32 est le minimum de S sur I, atteint pour x =4.

b.

Déterminons les valeurs de x dans I telles que S (x) = 50.

C’est à dire résolvons dans I l’équation : S(x) = 50 Û 2(x - 4)² + 32 = 50 Û 2(x - 4)² = 18 Û (x - 4)² = 9 Û x - 4 = -3 ou x - 4 = 3 Û x = 1 ou x = 7 L’ensemble des solutions de l’équation dans I est {1 ;7} Ainsi quand x = 1 cm ou x = 7 cm, l’aire du carré MNPQ v aut 50 cm².

EXERCICE 3.

f est la fonction définie sur IR\{2 ; 2} par f(x) = 3x² + 5x + 2 x² - 4 (Forme A).

1.

Montrer que f(x) peut aussi s’écrire sous chacune des formes suivantes : Forme B : 3x x - 2  1 x + 2 = 3x(x + 2) - (x - 2) (x - 2)(x + 2) = 3x² + 6x - x + 2 x² - 4 = 3x² + 5x + 2 x² - 4 = f(x) Forme C : (x + 1)(3x + 2) x² - 4 = 3x² + 2x + 3x + 2 x² - 4 = 3x² + 5x + 2 x² - 4 = f(x) Forme D : 3 + 5x + 14 x² - 4 = 3(x² - 4) + 5x + 14 x² - 4 = 3x² + 5x + 2 x² - 4 = f(x) 2.

Calculer : f(0) ; f( 2 ) ; f(2) ; f(1) f(0) = 2 - 4 = 1/2 f( 2 ) = 3 ´ 2 + 5 2 + 2 2 - 4 = 8 + 5 2 - 2 =  8 + 5 2 2 f(2) n’existe pas car 2 Ï IR\{2 ; 2} f(1) = 3 - 5 + 2 1 - 4 = 0. »