matrices, théorie des - mathématiques. 1 PRÉSENTATION matrices, théorie des, branche des mathématiques introduite par le mathématicien britannique Arthur Cayley en 1858, possèdant de nombreuses applications en ingénierie, physique, économie et statistiques. 2 DÉFINITIONS Une matrice est un ensemble de nombres disposés en lignes et en colonnes sous forme de tableau rectangulaire. Ces nombres sont les éléments de la matrice. La dimension de la matrice est donnée par le nombre de lignes m et le nombre de colonnes n. On la note m × n. Par exemple, la matrice suivante est une matrice 2 × 3 : Une matrice à m lignes et m colonnes est appelée matrice carrée d'ordre m. En notation mathématique standard, une matrice est indiquée par une majuscule et ses éléments par une minuscule doublement indexée. Ainsi, aij est l'élément de la matrice A qui se trouve à l'intersection de la ie ligne et de la je colonne. La matrice A s'écrit alors : ou encore en abrégé : A = (aij), cette notation signifiant que A est la matrice de terme général aij. Si A = (aij) est une matrice carrée d'ordre n, alors les éléments a11, a22, a33, ..., ann forment la diagonale principale de la matrice. Soient deux matrices A et B, avec A = (aij) et B = (bij). Ces deux matrices sont égales si et seulement si elles sont de même dimension et, pour toute paire i et j, aij = bij. 3 OPÉRATIONS SUR LES MATRICES Sous certaines conditions, différentes opérations peuvent être effectuées sur les matrices : addition, soustraction et multiplication. Dans certains cas, il est également possible de définir le déterminant et l'inverse d'une matrice. 3.1 Addition La somme de deux matrices n'est définie que si ces matrices sont de même dimension. La somme de deux matrices A = (aij) et B = (bij) de dimension m × n est la matrice C = (cij) de dimension m × n et d'élément générique cij = aij + bij. En d'autres termes, il suffit d'additionner les éléments homologues des deux matrices pour obtenir la matrice somme. Par exemple, on a : L'addition sur l'ensemble des matrices de dimension m × n possède les mêmes propriétés que l'addition sur les nombres : c'est une opération associative, commutative, et possédant un élément neutre, la matrice nulle, notée 0, dont tous les éléments sont nuls. Pour toute matrice A, on a donc A + 0 = 0 + A = A. 3.2 Soustraction Tout comme l'addition, la soustraction de deux matrices n'est définie que pour des matrices de même dimension. La différence de deux matrices A = (aij) et B = (bij) de dimension m × n est la matrice C = (cij) de dimension m × n et d'élément générique cij = aij - bij. Il suffit donc de soustraire les éléments homologues des deux matrices pour obtenir la matrice différence. La soustraction sur l'ensemble des matrices de dimension m × n possède les mêmes propriétés que la soustraction sur l'ensemble des éléments de la matrice. 3.3 Multiplication Le produit AB de deux matrices A et B n'est défini que si le nombre de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B. Soient la matrice A = ( aij) de dimension m × n et la matrice B = (bjk) de dimension n × p. Le produit AB de A par B est alors une matrice C = (cik) de dimension m × p et d'élément générique cik tel que : En d'autres termes, l'élément de la ie ligne et de la ke colonne du produit de deux matrices correspond à la somme des produits des éléments de la ie ligne et de la je colonne de la première matrice (facteur de gauche du produit) par les éléments de la je ligne et de la ke colonne de la seconde matrice (facteur de droite du produit). Par exemple, si l'on désire effectuer le produit des matrices : on écrit : La multiplication de deux matrices n'est pas commutative et, en général, AB ? BA. En revanche, elle est associative et distributive par rapport à l'addition (voir multiplication). Pour toutes matrices A d'ordre m × n, B d'ordre n × p, et C d'ordre p × q, on a donc : A(BC) = (AB)C ; A(B + C) = AB + AC ; (B + C)A = BA + CA. Sur l'ensemble des matrices carrées, la multiplication possède un élément neutre appelé matrice unité I, dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la diagonale principale ( aii) qui sont égaux à 1. Pour toute matrice carrée A, on peut donc écrire : IA = AI = A. 3.4 Déterminant et inverse À chaque matrice carrée A est associé un nombre appelé déterminant de A et noté det A. Par exemple, le déterminant d'une matrice 2 × 2 : est det A = ad - bc. Voir aussi déterminant (mathématiques). Une matrice carrée A est dite inversible s'il existe une unique matrice carrée B telle que AB = BA = I. La matrice B est alors l'inverse de A et notée A-1. On démontre qu'une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. 4 APPLICATIONS Les matrices, et les déterminants, jouent un rôle essentiel dans la résolution des systèmes linéaires d'équations (voir équations, système d'). Mais la théorie des matrices a également d'importantes applications en géométrie : les transformations telles que translation, rotation autour d'un point fixe ou symétrie orthogonale par rapport à une droite peuvent être en effet représentées par des matrices. La matrice correspondant à la composée de deux de ces transformations est égale au produit des matrices correspondant chacune à ces transformations. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.
