LA NOTION DE GROUPE EN ALGEBRE

Source: http://www.peiresc.org/DINER/Lexique.pdf

 

Notion essentielle de l'algèbre, un ensemble muni de la structure algébrique la plus simple. C'est la généralisation de la structure la plus couramment rencontrée en mathématiques pour des opérations algébriques binaires comme l'addition des nombres, la multiplication des nombres, l'addition des vecteurs, la succession de transformations……. C'est un ensemble d'objets abstraits pour lesquels on a défini une loi de composition interne (c.a d . une addition ou une multiplication associant à deux éléments un troisième élément de l'ensemble) partout définie et possédant trois propriétés caractéristiques : l'associativité ( la composition d'un objet avec la composition de deux autres est égale à la composition de la composition des deux premiers objets avec le dernier), l'existence d'un élément neutre (l'équivalent du zéro ou du un) et l'existence d'un symétrique pour tout élément (la composition de deux éléments symétriques donne l'élément neutre). La notion de groupe s'est dégagée essentiellement lors de la restructuration de l'algèbre entre le XIX° et le XX° siècle. Sa source principale est dans le problème de la résolution des équations algébriques en termes de racines, en particulier lors des travaux d'Evariste Galois. Mais la géométrie a collaboré à l'émergence de cette notion lorsque Félix Klein a formulé le problème de la classification des géométries à l'aide du concept de groupes de transformations (programme d'Erlangen).