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LE PARADOXE ?

Publié le 27/02/2008

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Les paradoxes mathématiques sont fondamentaux et nombreux. Ils doivent s'appuyer sur un raisonnement logique irréfutable qui conduit cependant à une contradiction. En mathématique, on peut distinguer deux acceptions du paradoxe. Une acception restreinte et une acception large. L'acception restreinte exigerait que cette contradiction soit elle aussi logique en montrant par exemple qu'une proposition soit vraie et fausse en même temps. L'acception large en revanche n'exige de la contradiction qu'elle remette « simplement » en question les lois naturelles. Les paradoxes mathématiques sont les plus choquants dès lors qu'ils appartiennent à la sphère de l'anti-paradoxal par excellence, à une sphère normée par la cohérence, la rigueur et donc l'indubitabilité. Il en est ainsi du paradoxe du Barbier si cher à Russell que nous ne faisions que mentionner en introduction. C'est Russell qui a monté un paradoxe pour démontrer le caractère contradictoire de la théorie des ensembles de Cantor. Russell illustre le paradoxe de la façon suivante : Dans le royaume de razibus, le roi décrète l'édit suivant: "Le barbier doit raser uniquement les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes".

« Une acception restreinte et une acception large.

L'acception restreinte exigerait que cette contradiction soit elle aussi logique en montrant par exemple qu'une proposition soit vraie et fausse en même temps.

L'acception large en revanche n'exige de la contradiction qu'elle remette « simplement » en question les lois naturelles.

Les paradoxes mathématiques sont les plus choquants dès lors qu'ils appartiennent à la sphère de l'anti-paradoxal par excellence, à une sphère normée par la cohérence, la rigueur et donc l'indubitabilité. Il en est ainsi du paradoxe du Barbier si cher à Russell que nous ne faisions que mentionner en introduction.

C'est Russell qui a monté un paradoxe pour démontrer le caractère contradictoire de la théorie des ensembles de Cantor.

Russell illustre le paradoxe de la façon suivante : Dans le royaume de razibus, le roi décrète l'édit suivant: "Le barbier doit raser uniquement les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes".

Or le barbier ne peut respecter cette règle car : S'il se rase lui- même, il enfreint la règle, car le barbier ne peut raser que les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes.

S'il se fait raser, il est enfreint aussi la règle, puisque c'est à lui que revient la tâche de raser les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes. Qu'en est-il du champ de la physique ? On appelle paradoxes physiques ceux qui impliquent en arrière-plan d'être en possession d'un certain savoir physique, d'une certaine théorie.

Il en est ainsi du paradoxe des jumeaux de Langevin qui illustre la réfutation du concept de temps absolu chez Newton du point de vue de la relativité.

On suppose deux frères jumeaux Emmanuel et Frédéric.

Frédéric reste sur terre, Emmanuel part sur un vaisseau spatial dont la vitesse s'approche de celle de la lumière.

A son retour, Emmanuel constate que Frédéric est plus vieux que lui.

Comment le temps peut-il s'écouler différemment dans un même univers en deux points différents ? Serait-il possible de remonter le temps ? Troisième illustration – le champ de la philosophie de l'action C'est dans ce cadre que s'inscrit le paradoxe appelé le « dilemme des prisonniers ».

En recherchant chacun leur intérêt, deux prisonniers soumis à un interrogatoire choisissent rationnellement une solution moins avantageuse qu'une autre.

On peut illustrer à nouveau ce paradoxe de la façon suivante : Deux suspects sont arrêtés par la police.

Mais les agents n'ont pas assez de preuves pour les inculper, donc ils les interrogent séparément en leur faisant la même offre.

« Si tu dénonces ton complice et qu'il ne te dénonce pas, tu seras remis en liberté et l'autre écopera de 10 ans de prison.

Si tu le dénonces et lui aussi, vous écoperez tous les deux de 5 ans de prison.

Si personne ne se dénonce, vous aurez tous deux 6 mois de prison.

» Chacun des prisonniers réfléchit de son côté en considérant les deux cas possibles de réaction de son complice. « Dans le cas où il me dénoncerait : Si je me tais, je ferai 10 ans de prison ; Mais si je le dénonce, je ne ferai que 5 ans.

» « Dans le cas où il ne me dénoncerait pas : Si je me tais, je ferai 6 mois de prison Mais si je le dénonce, je serai libre.

» « Quel que soit son choix, j'ai donc intérêt à le dénoncer.

» Si chacun des complices fait ce raisonnement, les deux vont probablement choisir de se dénoncer mutuellement. Conformément à l'énoncé, ils écoperont dès lors de 5 ans de prison chacun.

Or, s'ils étaient tous deux restés silencieux, ils n'auraient écopé que de 6 mois chacun. On le voit il existe une multiplicité de paradoxes appartenant à des champs de savoirs différents.

La question qui s'impose est donc la suivante 3.

Est-il légitime de parler de paradoxe au singulier ? Y a-t-il une structure commune à tous ces paradoxes ? Dans ces différents paradoxes, on retrouve des caractères communs : comme nous l'indiquait l'étymologie le fait que le paradoxe s'oppose à l'opinion commune ou au savoir référent.

Ainsi le paradoxe du Barbier s'oppose à la théorie des ensembles de Cantor, le paradoxe des jumeaux s'oppose à la théorie du temps selon Newton et le dilemme des prisonniers s'oppose à l'opinion commune, tout du moins à la rationalité commune.

Outre cette opposition, ces paradoxes ne sont pas des erreurs de raisonnement.

Ainsi il semble légitime qu'on puisse parler dans une certaine mesure de paradoxe au singulier. Le paradoxe – et là nous passons du négatif au positif- semble très proche de l'aporie et de l'antinomie.

Le paradoxe a des prémisses que l'on considère comme vraies mais par le biais desquelles on aboutit à une conclusion qui contredit ou bien la logique ou bien l'évidence sensible.

C'est cela qui nous invite à rapprocher le paradoxe de l'aporie.

En outre on peut aussi le rapprocher de l'antinomie car, comme elle, il est source de surprise et, comme elle, « la surprise qui lui est consubstantielle – je cite Quine dans In the Ways of Paradox - ne peut être évitée que par le rejet d'une partie de notre héritage. »

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