Peut-on tout démontrer ?

« «Ces longues chaînes de raison, si simples et faciles, dont les géomètres ontcoutume de se servir pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations,m'avaient donné occasion de m'imaginer que toutes les choses qui peuventtomber sous la connaissance des hommes s'entresuivent en même façon.»Descartes, Discours de la méthode (1637). • Descartes a eu, dès sa jeunesse, l'idée d'une mathesis universalis, ouscience universelle, qui étendrait le caractère démonstratif desmathématiques à l'ensemble des objets de connaissance possible (le mondephysique en particulier:• Ce discours démonstratif est défini par la cohérence de ses raisonnements,et par l'évidence des principes sur lesquels il repose (voir fiche Descartes").Ainsi, si l'on part d'une vérité absolument claire et distincte, et que l'on endéduit de manière rationnelle les conséquences, on arrive forcément àd'autres vérités, et ainsi de suite.• Rien ne devait pour Descartes, échapper à ce modèle, c'est pourquoi, ilpropose aussi un traité Les Passions de l'âme, dans lequel il traite de l'âmehumaine en «physicien» et géomètre (deux termes presque synonymes pourlui). DEUXIEME PARTIE: ll y a des limites au modèle géométrique. Pourtant l'homme se confronte à une double impossibilité.

1) Tout ne peut pas être défini.

Pour définir un mot, ilnous faut utiliser d'autres mots qui, en toute rigueur, devraient à leur tour être définis, et cela à l'infini.

2) Tout nepeut pas être démontré : pour démontrer une idée, on utilise d'autres idées qui à leur tour, devraient êtredémontrées, etc.

Cette double difficulté tient avant tout aux limites de la nature humaine, à l'impuissance naturellede l'homme.

Les exigences de la démonstration traduisent un décalage entre ce que l'homme veut (tout démontrer)et ce que l'homme peut.

Ce débordement de son vouloir au-delà des limites strictes de son pouvoir est ce qui pourPascal caractérise le mieux la condition humaine.

La raison est naturellement portée à transgresser ses limites. «D'où il paraît que les hommes sont dans une impuissance naturelle etimmuable de traiter quelque science que ce soit dans un ordre absolumentaccompli.

Mais il ne s'ensuit pas de là qu'on doive abandonner toute sorted'ordre.

Car il y en a un et c'est celui de la géométrie...» Pascal, De l'espritgéométrique (1658). • Pascal fait remarquer que le modèle démonstratif de la géométrie nousamène dans un cercle vicieux: car il suppose que les termes que l'on utilisesoient toujours définis de manière claire et distincte.

Or, pour définir un terme,il faut d'autres termes: on entre ainsi dans une régression à l'infini dont on nepeut sortir.

Il est donc vain de croire pouvoir tout démontrer.

Seule lagéométrie échappe relativement à ce problème.

Non pas parce qu'elle parvientà tout démontrer, mais parce qu'elle «ne suppose que des choses claires etconstantes par la lumière naturelle».

Mais elle est la seule dans son genre. TROISIEME PARTIE: L'essentiel, dans une démonstration, n'est pasl'évidence de son fondement mais sa cohérence formelle. «Démontrer n'est pas autre chose que résoudre les termes d'une propositionet substituer au terme défini sa définition ou une de ses parties pour dégagerune sorte d'équation.» Leibniz, De la liberté (1707). • En définissant la démonstration comme une suite de substitutions, Leibniz met de côté la question du fondementde la démonstration.

Une démonstration n'est pas, pour lui, un discours bien fondé, c'est d'abord une suite depropositions non-contradictoires.

Le fait que les définitions puissent être approfondies à l'infini n'est donc plus unproblème pour le caractère démonstratif du discours.• À partir de là, «démontrer» une proposition ne signifie plus «prouver la vérité» de cette proposition, mais montrerqu'elle est cohérente par rapport aux hypothèses sur lesquels elle repose.

L'idée d'une démonstration qui produiraitune «vérité absolue» fait place à la construction d'un modèle «hypothético-déductif».

Celui-ci est un mode deraisonnement dans lequel on examine quelles sont les conséquences des hypothèses que l'on se donne.

Par-delà lesmathématiques, il peut s'appliquer à toutes sortes d'objets. QUATRIEME PARTIE: LA DEMONSTRATION, UN IDEAL TOUJOURS REGULATEUR Si la science moderne a renoncé à étendre la démonstration comme type de connaissance à tous les objetspossibles, il n'en demeure pas moins que le modèle logico-mathématique de la connaissance imprègne encore lesesprits.

Einstein ne désespérait pas de trouver une formule qui exprime à elle seule la totalité du monde desphénomènes.

Mais cet idéal reste régulateur au sens kantien, il guide la connaissance comme un horizoninatteignable guide le marcheur.

Vouloir en faire le but de la science ne serait pas loin d'un délire de toute-. »