La philosophie des mathématiques

« pour payer plusieurs déjeuneurs chez une paysanne qui ne sait pas compter, empile les pièces de monnaie jusqu'àce qu'elle lui dise «Assez !».

L'ethnographie nous a d'ailleurs enseigné qu'en certaines civilisations primitives les nomspar lesquels on exprime les nombres différents d'une civilisation à l'autre suivant la nature des objets dénombrés.«Trois» par exemple ne se traduira pas par le même mot selon qu'il s'agit d'hommes de barques ou de poissons.

Laperception empirique des collections d'objets serait la véritable origine de la notion nombre.A ce point de vue on oppose le point de vue idéaliste.

Socrate, dans un dialogue de Platon, contemple les osseletsd'un jeu.

Il remarque qu'il y a cinq osselets.

Les osselets sont la on peut les toucher.

Mais où est le «cinq» ? Le cinqn'existe pas comme les osselets existent c'est une façon de penser cet ensemble d'osselets le cinq n'est pas unechose c'est une idée.

Le mathématicien est un homme qui a quitté le monde des apparences sensible, du concret etqui vit dans un monde d'idées, dans un monde de pures relations translucides a l'esprit.

L'abstraction mathématiquen'est pas la schématisation de l'expérience, des réalités perçues mais le refus de l'expérience.

Pour parvenir à uneligne sans épaisseur il faut refuser de tenir compte de l'expérience de l'épaisseur.

Le mathématicien n'observe pas lanature mais il contemple de pures relations d'idées.

L'ellipse par exemple n'est pas le contour d'un oeuf mais le lieugéométrique des points dont la somme des distances a deux point fixes est constante.

L'espace du géomètre estune « étendue intelligible» non l'étendue concrète.Platon comme on sait, distinguait deux mondes, le monde de l'expérience sensible, qui est un monde d'apparencesfugitives et mouvantes et le monde des essences éternelles.

Dans cette perspective les mathématiques seraientune contemplation d'essences.

Sans doute le géomètre trace-t-il des figures empiriques, approximatives sur letableau noir.

Mais le dessin concret, bien loin d'être la source des pensées géométriques, n'en est que la figurationmaladroite.

On peut raisonner juste sur des figures fausses et il n'est d'ailleurs pas de figures justes.

La droite que jedessine n'est pas tout a fait droite, ce qui revient a dire qu'elle n'est pas droite du tout.

Ce dessin n'est qu'unprétexte, a travers lui je vise une essence «dans une classe de mathématiques le professeur dessine au tableau uneparabole et chaque élève trace une parabole sur son cahier âpres quoi on parle de parabole ».

La parabole est uneessence idéale qui transcende le tracé empirique par lequel je la symbolise.Ces deux théories, empiristes et idéalistes, présentent en dépit de leur opposition un point commun : dans les deuxcas l'activité du mathématicien est décrite comme une vision empirique ou intellectuelle, comme une vision passive.L'opposition de l'empirisme et de l'idéalisme doit être aujourd'hui dépassée dans le cadre de la théorie opératoire desmathématiques.2.

Théorie opératoire de l'origine des mathématiquesL'histoire des mathématiques nous révèle clairement que les êtres mathématiques ne sont ni des choses perçues nides idées contemplées, mais seulement des outils techniques opératoires d'abord concrètes puis de plus en plusabstraites.

La géométrie n'est pas née de la simple contemplation de figures concrètes ou d'essences idéales.

Elleest issue de l'arpentage, c'est-à-dire des techniques de mesures de la terre.

Les arpenteurs égyptiens, devraient,lorsque le Nil se retirait redistribuer les terres.

Il leur fallait mesurer les lignes et les surfaces, découvrir destechniques rapides pour mesurer les surfaces a partir de l'évaluation des cotés de la figure.

Le progrès de lagéométrie est d'abord tout simplement le progrès de ces techniques de mesures indirectes (pendant longtemps, pourcalculer la surfaces des figures on se contenta de transformer la figure en un certain nombre de carres dont onsavait évaluer la surface, telles sont les techniques de quadratures auxquelles on devrait substituer par la techniquedes méthodes plus simples et plus fécondes)La notion même de nombre a une origine évidemment technique et opératoire.

Platon a tort de dire que le nombreest une idée pure, car on a commencé par compter les choses matérielles.

Mais l'acte de compter qui donnenaissance au nombre transcende la perception passive d'une multiplicité sensible.

Car le nombre n'a de sens que parrapport aux techniques de dénombrement et d'échange.

Il y a cinq osselets et le cinq n'est ni une chose matérielleque je touche, ni une essence que je contemple.

Le « cinq» est le résultat d'une opération (j'ai ajouté deux osseletsa un ensemble de trois osselets ou j'ai retiré 4 osselets d'un ensemble de 9 etc.)Au cours de l'histoire, ces opérations deviennent de plus en plus abstraites et de plus en plus générales.

Et il estaisé de montrer que ce mouvement n'est compréhensible que dans le cadre de la théorie opératoire.

Qu'on songepar exemple à cet exemple décisif que fut l'invention du nombre zéro par les mathématiciens hindous (invention queles arabes ont répandu).Le nombre zéro par définition ne représente rien, ne désigne aucune réalité ! Le mot hindou pour zéro est « sunya»qui veut dire vide.

La mathématique n'est pas une science d'observation.

En revanche le nombre zéro a une valeuropératoire considérable.

Je n'ai pas besoin d' «abaque » de bouclier a colonne pour me représenter la colonne desunités des dizaines des centaines etc.

la numération arabe les unités a droite les dizaines a gauche encore a gaucheles centaines y supplée le nombre zéro indiquant si besoin est qu'une colonne est vide.

Au lieu d'écrire comme lesRomains CIII, j'écris 103, je vois tout de suite que la colonne des dizaines est vide et je puis pratiquer très aisémenttoutes opération d'addition et de multiplication.De même la généralisation de la notion de nombre est liée à des opérations.

Par exemple, le nombre négatif, dit trèsbien M.

Piaget « ne saurait s'abstraire de rien de sensible puisqu'il correspond a quelque chose d'inexistant».

Ce sontdes opérations économiques (dettes) ou géométriques (inversion de direction) qui suscitent l'invention de cesymbole opératoire.

Les nombres fractionnaires ou rationnels sont également d'origine opératoire ainsi que lesincommensurables √2 qui sont des symboles issus des difficultés rencontrées par les Pythagoriciens dans lamesure des grandeurs (pas de commune mesure entre la diagonal et le cote d'un carré).

C'est le besoin qui créel'organe.

Quant aux nombres imaginaires (i=√(-1) ) dont le nom même est assez évocateur, ils correspondenta l'extension aux nombres négatifs de l'opération d'extraction de la racine carrée.

C'est la solution des équations dudeuxième degré qui impose cette généralisation.

Les nombres imaginaires ont donné en quelques sortes un sens auxsolutions impossibles d'équations telles quex2+x+1=0.

Le nombre imaginaire devait se reveler d'une utilisation tresfeconde dans l'etude des mathematiques des courants electriques alternatifs.

Mais à l' origine, le nombre imaginaireconstitue comme le dit bien M.

Piaget, « le schéma d'une opération sans objet ».Ainsi les maths remplacent les manipulations matérielles par des manipulations symboliques de plus en plus. »