QUADRATURE DE LA PARABOLE
Publié le 17/12/2011
Extrait du document
Pour calculer l'aire du domaine D, on l'encadre avec des rectangles. Un première série de rectangles (en grisés sur la figure 2), situés sous la courbe, de sorte que la somme de leurs aires soit inférieure à A. D'autres, plus grands (en blanc sur la figure 2) de sorte que la somme de leurs aires soit supérieure à A.
«
TS D M 1 : q uadra tu re d e l a p ara bole Page 2 G.
C O ST A N TIN I
1.
À l 'a id e d 'u n r a is o nnem en t g éo m étr iq ue é lé m en ta ir e , e x p liq uer p ourq uo i l 'a ir e A d u d om ain e D v érif ie :
A
1
2
2 .
À l 'a id e d e l a f ig ure 2 , d ém ontr e r q ue :
6
2 5 A 11
2 5
3 .
On s e p ro pose m ain te n an t d e d éco up er le s e g m en t [ 0 ; 1 ] e n n tr a n ch es d 'é g ale s lo ngueu rs p uis d 'é tu d ie r c e
q ui s e p asse l o rs q ue n t e n d v ers + ¥ ( c 'e st- à -d ir e l o rs q ue l a l a rg eu r d es r e cta n gle s t e n d v ers 0 )
L es n t r a n ch es s o nt d onc :
1
0 ;
n
,
1 2
;
n n
,
2 3
;
n n
,
....
, 1
;1
n
n-
C e q ue l 'o n p eu t n o te r e n co re
1
;
k
k
n n+
,
0 k n - 1
( V oir f ig ure 3 )
a ) À l 'a id e d e l a f ig ure 3 , c o m plé te r l e t a b le au s u iv an t :
T ra n ch e 1
0 ;
n
12
;
n n
23
;
n n
.
.. 1
;
k
k
n n+
... 1
;1
n
n-
H au te u r d es r e c ta n gle s h ach uré s e n 0 ...
...
H au te u r d es r e c ta n gle s h ach uré s e n ...
...
b ) On n o te , p our to ut n Î , sn la s o m me d es a ir e s d es r e cta n gle s h ach uré s e n e t S n la s o m me d es a ir e s
d es r e cta n gle s h ach uré s e n .
A in si, o n a : s
n A Sn
D ém ontr e r q ue p our t o ut n Î * :
s
n = 3
1
n (
1 2 + 2 2 + ...
+ k 2 + ...
+ ( n - 1 ) 2)
C e q ue l 'o n n o te e n co re : s
n = 3
1
n 1 2
1
n
k k
- =
D
ém ontr e r a u ssi q ue : S
n = s
n + 1
n= 3
1
n 2
1
n
k k
=
c
) Dém ontr e r p ar r é cu rre n ce q ue p our t o ut n Î *, o n a :
2
1
n
k k
=
=
( 1)( 2 1)
6n n n
+ +
d) En d éd uir e l a l im ite d e l a s u ite ( S
n) e t c elle d e l a s u ite ( s
n).
C onclu re ..
»
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