QUELLE EST l'ORIGINE DES NOTIONS MATHEMATIQUES ?

« Origine des notions mathématiques La perfection et l'irréalité des êtres mathématiques n'a pas d'équivalents dans la nature matérielle, sinon sous la forme d'approximationsrudimentaires.

Nous ne pouvons ni percevoir ni fabriquer de ligne droite sans épaisseur, de cercle parfait, etc.

Le mathématicien créechaque jour des figures et des concepts qui n'ont pas et n'auront peut être jamais de « correspondants » matériels.

Et pourtant, lesmathématiques s'appliquent au réel et l'expriment par la géométrie, la physique et, généralement, par le truchement des sciencesmathématisées.

D'où le problème de l'origine des notions mathématiques que l'on peut, d'ailleurs, considérer comme un cas particulier duproblème déjà étudié de l'origine des principes rationnels.

Nous retrouvons donc, là aussi, la solution empiriste et la solution rationaliste. 1.

La thèse empiriste. a) Exposé. Pour l'empirisme, concepts, figures, notions mathématiques sont tirées de l'expérience sensible.

« Les points, les lignes, les cercles quechacun a dans l'esprit sont de simples copies des points, des lignes, des cercles qu'il a connus dans l'expérience.

» (John-Stuart MILL).L'expérience perceptive nous donne l'idée du nombre par des collections d'objets.La forme de certains de ces objets est celle des figures géométriques élémentaires.

(Le rayon lumineux, le fil tendu sont des droites; lesoleil la lune, de nombreux fruits, la tête humaine sont des sphères; le tronc d'un arbre, un cylindre, etc.).

L'expérience active destechniques et les métiers nous a enseigné des formes, des procédés, des méthodes que la raison seule n'aurait pas songé à créer.

Lesmathématiques n'ont fait que purifier les données de l'expérience.

A partir des nombreux cercles approximatifs rencontrés dans la nature,nous avons conçu le cercle parfait qui est en même temps plus utilisable pour le calcul puisqu'il est plus simple, les innombrablesinégalités naturelles des rayons ayant été réduites à zéro.

La géométrie est bien, comme on l'a dit, « l'art de raisonner juste sur desfigures fausses » : le mathématicien, en effet, ne raisonne pas sur le cercle matériel grossier qu'il a dessiné mais sur le cercle idéalsymbolisé par ce dessin. b) Discussion. On accordera volontiers à l'empirisme que la ressemblance évidente entre les notions géométriques et arithmétiques fondamentales etles données de l'expérience ne sont pas le résultat d'une coïncidence.

Encore reste-t-il que :1° La décantation de ces données est le fait de l'esprit humain seul.

L'animal qui, lui aussi, perçoit des collections d'objets et des formesgéométriques, ne devient pas, pour autant, mathématicien.2° Issues de l'expérience sous leur forme élémentaire, êtres et notions mathématiques se diversifient et se compliquent, au point de finirpar vivre d'une existence pour ainsi dire autonome, sans aucun contact avec le réel.

D'innombrables figures géométriques n'existent,d'ailleurs, que dans les ouvrages du géomètre.3° L'existence de géométries non-euclidiennes a montré qu'il était possible de réaliser une coupure radicale entre la réalité matérielle etl'existence de constructions mathématiques cohérentes fondées sur l'abandon des postulats empiriques les plus apparemment « évidents». 2.

Le rationalisme. a) Exposé.Ces arguments viennent évidemment renforcer la thèse rationaliste selon laquelle les notions mathématiques seraient de pures créationsde l'esprit.

« Les mathématiques, écrit GOBLOT, n'ont pas besoin pour être vraies que leurs objets soient réels...

Le mathématicienconstruit, sans autre instrument que sa pensée, une science dont les objets n'ont de réalité que dans sa pensée.

» Historiquement lerationalisme mathématique s'est souvent identifié à un a priorisme idéaliste.

En particulier :1° Pour PLATON, la connaissance des notions mathématiques est liée à la thèse de la réminiscence.2° Pour DESCARTES, les notions mathématiques sont des idées innées.3° Pour KANT, l'espace et le temps sont des formes a priori de la sensibilité.

La nécessité de l'espace euclidien à trois dimensions est uneévidence absolue.4° HUSSERL, dans les Idées directrices pour une phénoménologie,conçoit les êtres géométriques comme des essences idéales qui ne sont en rien fondées sur l'intuition empirique.Pour le rationalisme, c'est l'esprit qui, par son activité, nous permet de délimiter dans l'expérience sensible des formes analogues auxmodèles idéaux que nous avons dans l'esprit.

La mathématisation du sensible, pour le rationaliste idéaliste, est une opération de l'espritsur lui-même puisque toute réalité est de nature mentale. b) Discussion. Le rationalisme et, en particulier, le rationalisme idéaliste ne parvient pas à rendre compte de façon satisfaisante de l'accord entre le réelet l'esprit.

L'innéisme pur et simple ne peut faire appel qu'à une solution transcendante.

Dans la thèse d'une activité de l'esprit édifiantlui-même principes et notions, on retombe sur l'objection de la coïncidence et l'on comprend mal comment une libre création de l'espritnous apparaît comme un corps de vérités nécessaires s'imposant à la conscience comme un donné dont nous devons accepter les lois. 3.

Nécessité d'une information positive. Le conflit doctrinal entre empiristes et rationalistes ne peut trouver de solution satisfaisante que si, renonçant à l'argumentation a priori,on cherche dans le développement même de l'esprit humain, le processus de formation des notions mathématiques.

Deux voies s'offrentnaturellement à la recherche :1° celle de la psychologie génétique qui nous permettra d'étudier la genèse de ces notions au cours du développement intellectuel del'enfant ;2° celle de l'histoire et de l'ethnologie susceptible de nous éclairer sur l'accession de l'humain à la rationalité mathématique au cours del'histoire de l'humanité.. »