Statistiques PCEM 1

Sommaire

3 Sommaire

9 1 La variabilité et l’incertain

10 2 La décision dans l’incertain

11 Chapitre 1 : Statistique(s) et Probabilité(s)

11 1.1 Statistique

11 1.2 Population et échantillon

12 1.3 Statistique et probabilité

15 Chapitre 2 : Rappels mathématiques

15 2.1 Ensembles, Eléments

15 2.2 Opérations sur les ensembles, diagrammes de Venn

17 2.3 Ensembles finis, dénombrables, non dénombrables

17 2.4 Ensembles produits

18 2.5 Familles d’ensembles

18 2.6 Autres rappels mathématiques

18 2.6.1 Rappel sur les sommes

19 2.6.2 Rappel sur les intégrales

21 Chapitre 3 : Eléments de calcul des Probabilités

21 3.1 Introduction

21 3.2 Ensemble fondamental et événements

22 3.3 Opérations sur les événements

23 3.4 Règles du calcul des probabilités

24 3.5 Remarque

25 3.6 Illustration de quelques ensembles probabilisés

25 3.6.1 Ensemble probabilisé fini

25 3.6.2 Ensemble fini équiprobable

26 3.6.3 Ensembles probabilisés infinis

26 3.6.3.1 Cas dénombrable

27 3.6.3.2 Cas d’un ensemble probabilisé infini non dénombrable

29 Chapitre 4 : Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème

de Bayes

29 4.1 Probabilité conditionnelle

Sommaire

4/159 Biostatistiques - Boisvieux, Golmard, Mallet & Morice 2001 - 2002

30 4.2 Théorème de la multiplication

31 4.3 Diagramme en arbre

32 4.4 Théorème de Bayes

34 4.5 Indépendance entre événements

34 4.6 Indépendance, inclusion et exclusion de deux événements

37 Chapitre 5 : Variables aléatoires

37 5.1 Définition d’une variable aléatoire

38 5.2 Variables aléatoires finies

38 5.2.1 Représentation d’une loi de probabilité finie

38 5.2.2 Espérance mathématique d’une loi finie

41 5.2.3 Variance et écart-type

41 5.2.4 Loi de probabilité produit

43 5.2.5 Variables aléatoires indépendantes

43 5.2.6 Fonction de répartition

43 5.3 Variables infinies dénombrables

44 5.4 Variables aléatoires continues

47 Chapitre 6 : Exemples de distributions

47 6.1 Lois discrètes

47 6.1.1 Loi de Bernoulli

47 6.1.2 Loi binomiale

50 6.2 Lois continues

50 6.2.1 Loi normale

50 6.2.1.1 Définition

50 6.2.1.2 Propriétés

53 6.2.2 Loi du χ2 (chi-2)

53 6.2.2.1 Définition

54 6.2.2.2 Propriétés

54 6.2.3 Loi de Student

55 6.2.4 Loi exponentielle

57 Chapitre 7 : Statistiques descriptives

57 7.1 Rappels et compléments

58 7.2 Représentation complète d’une série d’expériences

58 7.2.1 Cas d’une variable qualitative

59 7.2.2 Cas d’une variable quantitative discrète

60 7.2.3 Cas d’une variable quantitative continue. Notion d’HISTOGRAMME

61 7.3 Représentation simplifiée d’une série d’expériences

61 7.3.1 Indicateurs de localisation des valeurs

61 7.3.2 Indicateurs de dispersion des valeurs

62 7.4 Reformulation de la moyenne et de la variance expérimentales

Sommaire

2001 - 2002 Biostatistiques - Boisvieux, Golmard, Mallet & Morice 5/159

62 7.4.1 Reformulation de la moyenne expérimentale

63 7.4.2 Reformulation de la variance expérimentale

63 7.5 Cas particulier d’une variable à deux modalités - Proportion

64 7.5.1 Expression de la moyenne vraie de X

64 7.5.2 Expression de la variance vraie de X

64 7.5.3 Interprétation de la moyenne expérimentale

65 7.6 Conclusion : la variable aléatoire moyenne expérimentale

66 Résumé du chapitre

67 Chapitre 8 : Fluctuations de la moyenne expérimentale : la variable

aléatoire moyenne expérimentale

67 8.1 Première propriété de la moyenne expérimentale

67 8.1.1 Un exemple

68 8.1.2 Généralisation

69 8.2 Seconde propriété de la moyenne expérimentale : le théorème central limite

70 8.3 Etude de la distribution normale (rappel)

72 8.4 Application du théorème central limite. Intervalle de Pari (I. P.)

72 8.4.1 Définition de l’intervalle de pari (I. P.) d’une moyenne expérimentale

74 8.4.2 Les facteurs de dépendance de la longueur de l’intervalle de pari (IP)

75 8.4.3 L’intervalle de pari d’une variable aléatoire

76 Résumé du chapitre

77 Chapitre 9 : Le premier problème d’induction statistique : les tests

d’hypothèses. Principes

77 9.1 Un exemple concret (emprunté à Schwartz)

80 9.2 Principe général des tests d’hypothèses

80 9.2.1 Les étapes de mises en oeuvre

82 9.2.2 Justification de la règle de décision. Choix de α

82 9.2.2.1 Interprétation de α

82 9.2.2.2 Effet d’un changement de valeur de α

83 9.2.3 Justification des conclusions du test. Puissance d’un test

86 9.2.4 Amélioration de l’interprétation du rejet de H0

86 9.2.4.1 Notion de degré de signification

87 9.2.4.2 Orientation du rejet

89 Résumé du chapitre

91 Chapitre 10 : Quelques tests usuels

91 10.1 Test d’égalité d’une proportion vraie à une valeur donnée (ou test de

comparaison d’une proportion observée à une valeur donnée)

91 10.1.1 Mise en place du test

92 10.1.2 Autre interprétation du paramètre zc

Sommaire

6/159 Biostatistiques - Boisvieux, Golmard, Mallet & Morice 2001 - 2002

93 10.2 Test d’égalité d’une moyenne vraie à une valeur donnée (ou test de

comparaison d’une moyenne observée à une valeur donnée)

93 10.2.1 Cas des grands échantillons

94 10.2.2 Cas des petits échantillons (n < 30)

95 10.3 Test d’égalité de deux proportions vraies (ou test de comparaison de deux

proportions observées)

97 10.4 Test d’égalité de deux moyennes vraies (ou test de comparaison de deux

moyennes observées)

97 10.4.1 Cas des grands échantillons (nA et nB ≥ 30)

98 10.4.2 Cas des petits échantillons (nA ou nB < 30)

99 10.5 Test de comparaison de deux moyennes. Cas des séries appariées

101 Résumé du chapitre

103 Chapitre 11 : Tests concernant des variables qualitatives

103 11.1 Comparaison d’une répartition observée à une répartition donnée ou test du χ2

d’ajustement

104 11.1.1 Les étapes de mise en oeuvre

107 11.1.2 Cas particulier : variable à deux modalités

109 11.2 Comparaison de deux répartitions observées ou test du χ2 d’homogénéité

112 11.3 Test d’indépendance entre deux variables qualitatives

116 Résumé du chapitre

117 Chapitre 12 : Liaison entre deux variables continues : notion de

corrélation

117 12.1 Introduction

118 12.2 Abord du problème

120 12.3 Un indicateur de covariation : le coefficient de corrélation

124 12.4 Le coefficient de corrélation vrai

125 12.5 Mise à l’épreuve de la nullité du coefficient de corrélation vrai ρ

126 Résumé du chapitre

127 Chapitre 13 : A propos des tests d’hypothèses

127 13.1 Rappels et précisions

129 13.2 Jugement d’interprétation - La causalité

131 Chapitre 14 : Le second problème d’induction statistique :

l’estimation - Intervalle de confiance

131 14.1 Introduction

132 14.2 Estimation ponctuelle

132 14.2.1 Définition

Sommaire

2001 - 2002 Biostatistiques - Boisvieux, Golmard, Mallet & Morice 7/159

132 14.2.2 Propriétés

132 14.2.2.1 Biais

133 14.2.2.2 Variance

133 14.2.2.3 Erreur quadratique moyenne

133 14.2.3 Exemple

134 14.3 Intervalle de confiance

134 14.3.1 Exemple d’une proportion

136 14.3.2 Intervalle de confiance approché d’une proportion vraie

137 14.3.3 Intervalle de confiance approché d’une moyenne vraie (variable continue)

137 14.3.4 Applications

138 14.3.4.1 Précision d’un sondage

138 14.3.4.2 Précision d’une moyenne

141 Chapitre 15 : Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations

médicales

141 15.1 Introduction

141 15.1.1 Le diagnostic

142 15.1.2 Les informations médicales

142 15.1.3 Situation expérimentale et estimation

143 15.2 Les paramètres de l’évaluation

143 15.2.1 Un échantillon représentatif

143 15.2.1.1 Les données

143 15.2.1.2 Le couple sensibilité-spécificité

145 15.2.1.3 Les valeurs prédictives

145 15.2.1.4 Comparaison des deux couples de paramètres

146 15.2.2 Deux échantillons représentatifs

147 Chapitre 16 : Notion d’aide à la décision

147 16.1 Introduction

147 16.2 Notion d’utilité

148 16.3 Arbres de décision

148 16.3.1 Structure d’un arbre de décision

148 16.3.1.1 Les sommets

148 16.3.1.2 Les arcs

149 16.3.1.3 Les utilités

150 16.3.1.4 Les probabilités

150 16.3.2 Évaluation des arbres de décision

151 16.3.3 Intérêts et limites

153 Annexe A : Tables statistiques

154 A.1 TABLE DE LA VARIABLE NORMALE REDUITE u

155 A.2 TABLE DU t DE STUDENT

Sommaire

8/159 Biostatistiques - Boisvieux, Golmard, Mallet & Morice 2001 - 2002

156 A.3 TABLE DE χ2

157 A.4 TABLE DU COEFFICIENT DE CORRELATION

159 Quelques références de livres couvrant le programme de biostatistiques

de P1