« Suites et récurrence » - TS (cours de mathématiques)

I) Récurrence :

1) définition : Si la suite  est définie par et  , on a alors : , , ,…  pour , le calcul de nous permet de calculer . Ainsi on définit une suite récurrente .

2) Démonstration par récurrence :

Pour démontrer par récurrence qu’une propriété relative à un entier naturel est vraie pour tout entier naturel , on doit :

a) Démontrer que la propriété est vraie pour (initialisation)

b) La supposer vraie pour un rang (hypothèse de récurrence)

c) Démontrer qu’elle est vraie pour le rang  «   « (la propriété est héréditaire).

EXEMPLES :

1°) Démontrer par récurrence que on a : .

Initialisation : La propriété est vraie pour , car : . Elle est même vraie pour , car :  (la démonstration pour n’est pas obligatoire).