Qu'est-ce que le théorème de Gödel ?

Kurt Gödel (1906-1978) est un logicien et mathématicien autrichien. En 1931, il formule deux théorèmes décisifs concernant le fondement des mathématiques. De quoi s'agit-il ? Pour fonder la science mathématique, on espérait asseoir tous les théorèmes et les propriétés sur un ensemble restreint de propositions initiales (appelées « axiomes »). Ainsi, les mathématiques se présenteraient comme un ensemble déductif complet et consistant (c'est-à-dire non contradictoire). Mais Gödel ruina cet espoir en démontrant l'incomplétude de l'axiomatisation : « On peut démontrer rigoureusement que dans tout système formel consistant [...] il existe des propositions arithmétiques indécidables et que, de plus, la consistance d'un tel système ne saurait être démontrée à l'intérieur de ce système » (Nagel, Newman, Gödel, Le Théorème de Gödel). Autrement dit, dans un système mathématique (ou logique) axiomatisé, il existe toujours des propositions qu'on ne peut pas déduire des axiomes. Par conséquent, les mathématiques sont incomplètes ou non-consistantes. Le modèle de rationalité que sont les mathématiques souffre d'une faille.