suite ds

1`ereS Correction du devoir de math ́ematiques Exercice 1 Convergence des suites g ́eom ́etriques 1. Soit la fonction h d ́efinie par h(x) = f (x) − g(x). Les fonctions f et g sont des fonctions ploynˆomes, donc d ́erivables sur IR, de mˆeme donc que h, avec, pour tout x ≥ 0, h′(x) = n(1 + x)n−1 − n = n [(1 + x)n−1 − 1]. Commex≥0,1+x≥1,etdonc(1+x)n−1 ≥1,d’ou`,pourtoutx≥0, h′(x) ≥ 0. On en d ́eduit que, pour tout x ≥ 0, h(x) = f(x)−g(x) ≥ 0, et donc que, pour tout x ≥ 0, f(x) ≥ g(x). 2. Commeq>1,ilexistex>0telqueq=1+X,etalors,pourtoutentiern,un =(1+x)n. D’apr`es la question pr ́ec ́edente, on a alors, comme x > 0, un > 1 + nx. Or lim (1 + nx) = +∞, et donc, d’apr`es le th ́eor`eme d’encadrement, lim un = +∞. n→+∞ n→+∞ x 0 +∞ + h′ (x) h(x) 0 3. Soit01,et,d’apr`eslaquestionpr ́ec ́edente,ona lim pn =0. p Onend ́eduitque lim un = lim q = lim = lim n =0 n→+∞ Tours de Hano ̈ı (3 disques) ToursdeHano ̈ı(4disques) n 􏰁1􏰂n 1 n→+∞ n→+∞ n→+∞ p n→+∞ p Exercice 2 Tour de Hano ̈ı 2. Pour d ́eplacer n + 1 disques jusqu’`a la troisi`eme tour, on commence par d ́eplacer n disques sur deuxi`eme tour en un d ́eplacements, puis on d ́eplace le dernier disque sur la troisi`eme tour en 1 d ́eplcament, et enfin on d ́eplace les n disques de la deuxi`eme `a la troisi`eme tour en un d ́eplacements. Onaainsi,un+1 =un+1+un =2un+1. 3. u4 = 2u3 + 1 = 15, u5 = 31 et, u6 = 63 4. Pourtoutentiern,vn+1 =un+1+1=2un+2=2(un+1)=2vn. On en d ́eduit que la suite vn est g ́eom ́etrique de raison q = 2, et donc que, pour tout entier n, vn = v1qn−1 = 2 × 2n−1 = 2n. 230 5. Il faut 5 secondes pour finir le jeu avec 30 disques, soit 2305 × 3600 × 24 × 365 ≃ 6, 8 ann ́ees, 250 et 5 secondes pour finir le jeu avec 50 disques, soit 2505 × 3600 × 24 × 365 ≃ 7 millions ann ́ees. Exercice 3 Soit la suite (un) d ́efinie par u0 = 0 et, pour tout naturel n, un+1 = 2un + 2. On d ́efinit la suite (vn) pour tout entier naturel n par la relation vn = un − 1. 1. u0,u1 =2,u2 =10. 3 11 u1−u0=2,u2−u1=10−2=8