algébrique - Définition.
Publié le 18/10/2013
Extrait du document
«
Aujourd'hui, on préfère écrire des relations entre vecteurs plus
générales et plus faciles à manipuler que des relations entre mesures algébriques.
Nombre algébrique.
Un nombre réel ou complexe est dit algébrique lorsqu'il est racine d'une équation de la
forme :
P(x) = a nXn + an–1 xn–1 + ...
+ a2x2 + a1x + a0 = 0
où les coefficients a i du polynôme P sont des nombres entiers, a n étant différent de 0.
Un
nombre non algébrique est dit transcendant.
Par exemple, O est un nombre algébrique, puisqu'il vérifie l'équation x 2 - 2 = 0.
Tous
les nombres rationnels sont algébriques, puisqu'ils vérifient une équation du premier degré.
Le degré d'un nombre algébrique est le degré du polynôme irréductible à coefficients
entiers dont il est racine.
Par exemple, est un nombre algébrique de degré 2,
puisqu'il est racine du polynôme irréductible x 2 + x + 1 = 0.
Si a est un nombre algébrique de degré n , alors, avec les notations ci-dessus, on a : an =
(an–1 an–1 + ...
+ a2a2 + a1a + a0)/ an et les puissances de a engendrent un espace
vectoriel de dimension n , sur le corps t des nombres rationnels ; cet espace est aussi un
sur-corps de t appelé extension algébrique de degré n engendrée par a.
L'étude de suites
finies d'extensions algébriques de t, connue sous le nom de théorie de Galois, a permis de
démontrer l'impossibilité de résoudre par radicaux des équations du cinquième degré. Voir
équation.
Les nombres algébriques forment un sous-corps du corps des nombres complexes.
Lorsqu'un nombre algébrique est racine d'un polynôme à coefficients entiers dont le
coefficient du terme de plus haut degré vaut 1, on dit que ce nombre est un entier
algébrique.
L'ensemble des entiers algébriques forme un anneau..
»
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