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équation.

Publié le 27/10/2013

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équation. n.f., égalité dans laquelle figurent des quantités inconnues. Une équation peut toujours se mettre sous la forme f(x) = k, où f est une application d'un ensemble E vers un ensemble F, et où k est un élément donné de f. L'élément x de E est appelé inconnue. Les éléments vérifiant la relation précédente sont appelés solutions de l'équation. On peut toujours interpréter géométriquement les solutions en étudiant l'intersection du graphe de la fonction f avec l'horizontale x = k. Examinons deux exemples fondamentaux où les ensembles E et F sont tous deux égaux à l'ensemble u des nombres réels. Équation du premier degré. On appelle ainsi une équation de la forme : ax + b = 0, a ¹ 0. C'est le cas où la fonction f est affine, et où la fonction g est nulle. Il y a une solution et une seule, L'équation homographique : se ramène à la précédente. En effet, en supposant que cx + d est non nul, on se ramène à : ax + b = k(cx + d), soit encore : (a - kc)x + b - kd = 0. Ainsi, lorsque a - kc ¹ 0, il y a une solution et une seule : On voit que la solution x dépend homographiquement du second membre k. Équation du second degré. Examinons d'abord un cas particulier fondamental : x2 = k, où k est un nombre réel. Rappelons que, si k est strictement positif, il y a deux solutions : x' = ä k x" = - ä k. (Voir racine). Si k = 0, il y a une solution et une seule, à savoir 0. Enfin, si k est strictement négatif, il n'y a pas de solution réelle. Passons au cas général : ax2 + bx + c = 0, a ¹ 0. Le cas où a = 0 étant écarté, car on retrouve une équation du premier degré, mettons a en facteur : Or : L'équation proposée se ramène donc à : Le nombre d = b2 - 4ac s'appelle discriminant de l'équation. D'après ce qui précède, nous devons distinguer trois cas : Si d > 0, il y a deux racines : Si d = 0, il y a une racine double, Si d < 0, il n'y a pas de racines réelles. En revanche, il y a deux racines dans r, qui sont : Dans tous les cas, on a : (relations entre les coefficients et les racines). Exemples : x2 - 3x + 2 = 0 a deux racines, x' = 1, x" = 2. 2 x2 - 8x + 8 = 0 a une racine double, x' = x" = 2. x2 + x + 1 = 0 n'a pas de racine réelle. Elle a deux racines complexes : Pour d'autres emplois du mot équation, voir courbe. différentielle (équation). polynôme et surface. Complétez votre recherche en consultant : Les corrélats courbe différentielle (équation) égalité fonctionnelle (équation) inconnue polynôme (fonction) racine - 3.MATHÉMATIQUES sciences (histoire des) - La lumière - Les nombres complexes sciences (histoire des) - La matière - Le calcul infinitésimal solution - 1.MATHÉMATIQUES surface

« Le nombre d = b2 - 4 ac s'appelle discriminant de l'équation.

D'après ce qui précède, nous devons distinguer trois cas : Si d > 0, il y a deux racines : Si d = 0, il y a une racine double, Si d < 0, il n'y a pas de racines réelles.

En revanche, il y a deux racines dans r, qui sont : Dans tous les cas, on a : (relations entre les coefficients et les racines). Exemples : x2 - 3 x + 2 = 0 a deux racines, x’ = 1, x” = 2. 2x2 - 8 x + 8 = 0 a une racine double, x’ = x” = 2. x2 + x + 1 = 0 n'a pas de racine réelle.

Elle a deux racines complexes : Pour d'autres emplois du mot équation, voir courbe. différentielle (équation). polynôme et surface . Complétez votre recherche en consultant : Les corrélats courbe différentielle (équation) égalité fonctionnelle (équation) inconnue polynôme (fonction) racine - 3.MATHÉMATIQUES sciences (histoire des) - La lumière - Les nombres complexes sciences (histoire des) - La matière - Le calcul infinitésimal solution - 1.MATHÉMATIQUES surface. »

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