Correction transmath2nd debut du livre

CHAPITRE 1 ACTIVITÉS Fonctions, équations, inéquations (page 23) Activité 1 b) C'est une fonction décroissante (lorsque le temps augmente, la quantité d'eau diminue). 1 a) f(2) < f(5). f(4,2) > f(1,6). b) g(1) > g(3,5). g(2,6) < g(1,9). 2 a) S est une fonction croissante (lorsque le rayon r augmente, l'aire S augmente). Activité 2 Pas de corrigé. PROBLÈME OUVERT o Piste 1 : Exprimez le volume en fonction de x et de h. o Piste 2 : Déduisez-en l'expression de h en fonction de x. o Piste 3 : Exprimez l'aire des parois en fonction de x. o Piste 4 : Justifiez que l'aire des parois est A(x) = x2 + 16 . x o Piste 5 : Programmez la table de valeurs de A pour des valeurs de x allant de 0 à 10 avec un pas de 0,5. o Piste 6 : Réduisez le pas. o Piste 7 : Conjecturez une valeur de x permettant d'utiliser le minimum de peinture. Correction : Dans tout ce qui suit x > 0. Le volume est V = x2h, ce volume vaut 4, donc x2h = 4 et h = 42 . x L'aire des parois latérales est A(x) = x2 + 4xh (le carré de base et quatre rectangles de dimensions x et h). Puisque h = 42 , on obtient : x A(x) = x2 + 4x × 42 = x2 + 16 . x x 10 On représente la courbe de A à l'aide de GeoGebra, par exemple, et on conjecture que x = 2 (en mètres) est la valeur de x qui permet d'utiliser le minimum de peinture. Pour obtenir une solution algébrique, on peut former la différence A(x) - A(2), puis étudier son signe pour justifier que A(2) est le minimum de A. A(x) - A(2) = x2 + 16 - 12 x x3 - 12x + 16 . = x Il s'agit donc de déterminer le signe de x3 - 12x + 16 puisque x > 0. En utilisant le logiciel XCas, on obtient la factorisation suivante : x3 - 12x + 16 = (x - 2)2 (x + 4). Comme x > 0, alors x + 4 > 0 et (x - 2)2 0 et ainsi A(x) - A(2) 0. Ce qui prouve que A(x) A(2) et x = 2 est bien la valeur qui minimise la quantité de peinture à utiliser. Application (page 27) EXERCICES 1 b) - 2 ? ]- ? ; - 1[. 3 d) 7 ? ]0 ; 7[. a) - 1 ? [- 1 ; 2[. c) 5,9 ? ]5,8 ; + ?[. 2 1. 2. a) x Intervalle : ]3 ; + ?[. 3 - 2. ]- ? ; - 2] -2 b) - 1 < x 0 c) 2 5 [2 ; 5] f(2) = 3 × 22 - 2 = 10. f(3) = 3 × 32 - 2 = 25. ]2 ; 3[ 3 a) 2. f(2t) = 3 × (2t)2 - 2 = 3 × 4t2 - 2 = 12t2 - 2. b) - 10 15 x ? ]- 10 ; 15]. x c) x 9. a) b) - 1 < x 7,5. 7 x ? [7 ; + ?[. 0. d) x > 2. -3 4 ]- 3 ; 4[ b) 1 3 1 2 c) ]- ? ; + ?[ d) - ? ; 1 2 b) f(x) = - 1 a comme solutions - 5 ; ? - 2,4. 1. f(- 3) = - 2 ; f(1) ? 2,4. 1. f(- 4) ? - 1,4 ; f(- 1) ? 2,3 ; f(1) = 0. a) Faux. d) Vrai. 9 b) Vrai. c) f(x) = 0 a comme solutions - 2,1 et 4. 2. les antécédents de 3 sont ? - 1,5 et ? 2. 2. f(- 3) = 0 ; f(0) ? 1,1 ; f(2) = - 1. 8 2. a) h(12) = 2 × 122 - 16 × 12 - 168 = 288 - 192 - 168 = - 72. h(- 6) = 2 × (- 6)2 - 16 × (- 6) - 168 = 2 × 36 + 96 - 168 = 0. 14 1. a) f(x) = 1 a comme solutions - 2 et 3. 2. f(0) ? 2,8 ; f(- 1) ? 2 ; f(2) = 2 ; f(- 2) = 0. 7 13 1. h(12) ? - 70 ; h(- 6) ? 0. b) Cela confirme la valeur de h(- 6), mais pas h(12). La lecture graphique manquait de précision. - ?; 1 3 6 1 = 1 = 1. (- 1)2 + 2 1 + 2 3 g(2) = 2 1 = 1 = 1 . 2 +2 4+2 6 1 g(13) = = 1 = 1. (13)2 + 2 3 + 2 5 1 =1. 2. g(1t) = (1t)2 + 2 t+2 12 1. g(- 1) = 4 x ? ]- ? ; 4[ a) 7 11 1. f(1) = 3 × 12 - 2 = 1. ]- ? ; 1[ 2 c) 5 5 1 e) 4 0 2 x d) 3 ]- 1 ; 0] -1 2. f(6) = - 3 × 62 + 5 × 6 = - 78. 10 1. f(3) = - 32 + 6 = - 7. 3 6 = - 16 - 3 = - 35 . 2 f(- 4) = - (- 4) + -4 2 2 2. f(2) = - 22 + 6 = - 4 + 3 = - 1. 2 1 = - 1 2 + 6 = - 1 + 6 × 2 = 47 . f 2 2 4 4 1 2 c) Faux. e) Vrai. 1. f(1) = - 3 × 12 + 5 × 1 = 2. f(- 3) = - 3 × (- 3)2 + 5 × (- 3) = - 3 × 9 - 15 = - 27 - 15 = - 42. f(103) = - 3 × (103)2 + 5 × 103 = - 3 × 106 + 5 × 103 = - 2 995 × 103. 15 o f(x) = 5 8x + 3 = 5 8x = 2 x= 2 = 1 84 5 a pour antécédent 1 par f. 4 o g(x) = 5 - 5x - 7 = 5 - 5x = 12 x = 12 . -5 5 a pour antécédent - 12 par g. 5 o f(x) = - 2 8x + 3 = - 2 8x = - 5 x = - 5. 8 - 2 a pour antécédent - 5 par f. 8 o g(x) = - 2 - 5x - 7 = - 2 - 5x = 5 x = 5 = - 1. -5 - 2 a pour antécédent - 1 par g. Chapitre 1 ? Fonctions, équations, inéquations 11 16 o f(x) = 2 o f(x) = - 3 1x-3=2 - - 1 x - 3 = -3 5 5 1x=5 - 1x=0 - 5 5 x = 5 × (- 5) x = 0 × (- 5) x = - 25. x = 0. 2 a pour antécédent - 25 par f. - 3 pour antécédent 0 par f. o g(x) = - 3 3x+5=-3 8 3x=-8 8 x = - 8 × 8 = - 64 3 3 o g(x) = 2 3x+5=2 8 3x=-3 8 x = - 3 × 8 = - 8. 3 - 3 a pour antécédent - 64 par g. 2 a pour antécédent - 8 par g. 3 17 1. a) x = - 5. 2 24 1. f 1 = 1 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = - 5 = yA, donc 2 A? . 2 ...