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« Pour−1≤h≤1avech =0,f(h)−f(0) h=√ 1−h 2−1 h=(√ 1−h 2−1)(√ 1−h 2+1) h(√ 1−h 2+1)=h √1−h 2+1. Orlim h→0  1−h 2+1 = 2donclim h→0 f(h)−f(0) h=√ 1−h 2−1 h=0. La fonctionfest alors dérivable en 0 etf (0) = 0. 1.3 dérivabilité et continuité Propriété : fest une fonction définie sur un intervalleI,aest un réel deI. Sifest dérivable ena,alorsfest continue ena. Démonstration : On suppose quefest dérivable ena,c’estàdire,pourh =0tel quea+h∈I, f(a+h)=f(a)+f (a)h+hε(h)aveclim h→0 ε(h)=0. Orlim h→0 f(a)h=0etlim h→0 hε(h)=0donclim h→0 f(a+h)=f(a), ce qui justifie quefest continue ena. Remarque : la réciproque de la propriété est fausse : la fonction racine carrée est continue en 0, mais elle n’est pas dérivable en 0. 1.4 dérivées successives Définition : fest une fonction dérivable sur un intervalleI.

Sa fonction dérivéef s’appelle la fonction dérivée première (ou d’ordre 1) def. Lorsquef est dérivable surI, sa fonction dérivée est notéef ;f est appellée dérivée seconde (ou dérivée d’ordre 2) def. Par itération, pour tout entier natureln≥2, on définie la fonction dérivéen-ième (ou d’ordren)comme étant la fonction dérivée de la fonction d’ordren−1,f (1) =f et pour toutn≥2,f (n) =f (n−1)
. Exemple : f:x
−→cosxest dérivable surRet on af (x)=−sinx,f (x)=−cosx,f (3) (x)=sinx, f (4) (x)=cosxet ainsi de suite... 2 Règles de dérivation 2.1 dérivées des fonctions usuelles f(x) f(x) fest dérivable sur l’intervalle λ 0 ]−∞;+∞[ x 1 ]−∞;+∞[ xn(n∈Netn≥2) nx n−1 ]−∞;+∞[ 1 x −1x2 ]−∞;0[ou]0; +∞[ √x 1 2√ x ]0; +∞[ cosx −sinx ]−∞;+∞[ sinx cosx ]−∞;+∞[ 2.2 dérivées et opérations sur les fonctions Propriété : uetvsont deux fonctions dérivables sur un intervalleIetkest un réel.

Alorsku,u+vetuv sont dérivables surIet : (ku) =ku ;(u+v) =u +v ;(uv) =u v+uv  Si, de plusvne s’annule pas surI,alors1 vetu vsont dérivables surIet :  1 v  =−v  v2 et u v =u v−uv  v2 Corollaire : Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de leur domaine de définition. Exercice : Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes : 1.fest la fonction définie sur[0; +∞[par :f(x)=(x−1)√ x 2.fest la fonction définie surR\{−1; 0}par :f(x)=4x 2+x+2 x2+x. »