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CH 01 : Fonctions, équations et inéquations 1) Intervalles 1-1 Ensemble des nombres réels Les abscisses des points d’une droite graduée sont des nombres réels. L’ensemble de ces nombres est noté . L’ensemble vide se note  . remarques : • 0,7 ; 0 ; 1 et 5 2 sont des nombres rationnels. Ils s’écrivent sous forme de fractions. •  3 et  sont des nombres irrationnels. 1-2 Intervalles D1 : (1) L’intervalle a b;  est l’ensemble des nombres x tels que : a x b   . (2) L’intervalle  a b;  est l’ensemble des nombres x tels que : a x b   . (3) L’intervalle a;  est l’ensemble des nombres x tels que : x a  . (4) L’intervalle  ;b  est l’ensemble des nombres x tels que : x b  . exemples : (e1) 1 3 1;3     x x   (e2) x x      2 2;   (e3) x x      0 ;0   R1) On définit de la même façon les intervalles  a b; , a b;  ,  a;  et  ;b. R2) est parfois noté     ;  . R3) Il est parfois nécessaire d’utiliser l’intersection ou la réunion d’intervalles, notamment dans la résolution de systèmes d’inéquations ou la donnée de domaine de définition. exemples : (e1) Intersection de deux intervalles On résout graphiquement le système : 1 3 2 x x       . (tout ce qui est coloré deux fois) On obtient : 1;3 2; 2;3        . Le système a pour ensemble solution  2;3. (e2) Réunion de deux intervalles On résout graphiquement le système : 1 3 ou 2 5 x x          . (tout ce qui est coloré) On obtient : 1;3 2;5 1;5       . Le système a pour ensemble solution 1;5 . (e3) L’expression 1 x  2 est définie pour x  2 , soit sur       ;2 2;    ( privé de 2). On dit que 2 est une valeur interdite de l’expression. 2) Fonctions, équations et inéquations 2-1 Vocabulaire des fonctions D2 : D est une partie de (intervalle ou réunion d’intervalles). (1) Définir une fonction f sur D , c’est associer à tout nombre x de D un nombre unique, noté f  x , appelé image de x par f . On dit que D est le domaine de définition de f et on le note Df . (2) Lorsque b est l’image de a par f , soit : f a b   , on dit que a est un antécédent de b par f . (3) La courbe représentative Cf d’une fonction f définie sur Df est l’ensemble des points M ;f  x x  , où x décrit Df . (4) On dit que la courbe Cf a pour équation : y x  f   . exemples : (e1) f est définie sur 1;5 par la courbe ci-contre. L’image de 4 par f est 1, soit : f 4 1    . Les antécédents de 3 par f sont 2 et 5. (e2) g est définie par le tableau. L’image de 7,99 par g est 1 058, soit : g 7,99 1058    . Un antécédent de 1 053 par g est 7,97. (e3) h est définie sur par la formule :   2 h 3 x x   . On calcule :   2 h 0 0 3   , soit : h 0 3     . L’image de 0 par h est 3 . On résout :   2 h 1 4 2 ou 2 x x x x        . Les antécédents de 1 par h sont 2 et 2. 2-2 Lecture graphique Cf et Cg sont les courbes représentatives des fonctions f et g . k est un nombre réel. P1 : (1) Les solutions de l’équation : f  x k   sont les abscisses des points de Cf d’ordonnée k . (2) Les solutions de l’inéquation : f  x k   sont les abscisses des points de Cf d’ordonnée inférieure à k . P2 : (1) Les solutions de l’équation : f g  x x     sont les abscisses des points d’intersection des Cf et Cg . (2) Les solutions de l’inéquation : f g  x x     sont les abscisses des points de Cf situés au-dessous de Cg . exemples : (e1) (e2) (e1) L’équation : f 2  x  a pour solutions 1 et 0. L’inéquation : f 2  x  a pour ensemble solution 1;0. (e2) L’équation : f g  x x     a pour solutions 3 ; 1 et 5. L’inéquation : f g  x x     a pour ensemble solution   3;1 5;6   .