MATHÉMATIQUES INTRODUCTION Les mathématiques forment un savoir vieux de milliers d'années.

MATHÉMATIQUES INTRODUCTION Les mathématiques forment un savoir vieux de milliers d'années. Le mot mathématiques provient du grec mathêma, qui signifie « science » et renvoie à l'idée d'apprendre. En effet, les mathématiques composent un ensemble d'idées, de concepts et de méthodes qui constituent la base de notre capacité de connaissance. Les idées mathématiques concernent les quantités et la configuration spatiale, les caractéristiques fondamentales que l'homme recueille dans le monde sensible qui l'entoure ; mais elles concernent également des questions plus complexes liées à la logique ainsi qu'à la combinaison et à l'organisation de toutes ces idées élémentaires en systèmes ou en structures. On pense, par exemple, à l'organisation des nombres dans un système de numération, tel que notre système décimal ou à la description d'un ensemble de propriétés géométriques telles que celles du triangle. Au cours de leur longue histoire, surtout grâce à la culture grecque, les mathématiques sont devenues un modèle de raisonnement exact et un défi stimulant pour l'intelligence humaine. Dans de nombreuses cultures, les hommes se sont servis des connaissances mathématiques dans une vaste gamme d'activités allant des échanges commerciaux aux techniques de construction ou à l'élaboration du calendrier. Cependant, de nombreux mathématiciens en ont développé les méthodes et les concepts, et en ont élargi le champ d'application, principalement motivés par la curiosité et par le plaisir que procure la déduction de résultats mathématiques. Dans la culture occidentale, les mathématiques ont grandement contribué à comprendre et à maîtriser la nature, car leurs concepts et leurs méthodes se sont révélés des plus efficaces pour étudier le mouvement des corps célestes ou celui des corps sur la surface terrestre, la propagation du son, de la lumière, de la chaleur, de l'électricité et des ondes électromagnétiques, la structure de la matière et les réactions chimiques, le fonctionnement du corps humain et bien d'autres questions encore. En effet, les mathématiques permettent d'organiser de vastes groupes de phénomènes naturels suivant des schémas cohérents, et fournissent de la sorte aux sciences un instrument efficace pour comprendre en profondeur le sens et la portée des découvertes qu'elles ont réalisées par l'observation et l'expérimentation. Les mathématiques sont le noyau central des principales théories scientifiques, comme la mécanique de Newton, la théorie de l'électromagnétisme de Maxwell, la théorie de la relativité et la mécanique quantique. De nos jours, les sciences physiques, les sciences humaines et sociales, et même les sciences de la vie, ont pour ambition de trouver des principes mathématiques autour desquels elles pourraient organiser leurs connaissances et leurs théories. C'est ainsi que, remarquant que la véritable signification de certaines théories physiques est encore peu claire aujourd'hui, quelqu'un a pu écrire que « la science est devenue une accumulation de théories mathématiques ornée de quelques rares faits physiques ». LES MATHÉMATIQUES À L'AUBE DES CIVILISATIONS 1 LES IDÉES MATHÉMATIQUES Les idées mathématiques se retrouvent sous des formes différentes dans les diverses cultures humaines, de celle de l'homme primitif aux civilisations les plus anciennes et les plus riches (Mésopotamie, Égypte, Inde, Chine), jusqu'à la culture occidentale et aux nombreuses autres cultures plus ou moins avancées technologiquement qui se sont développées sur notre planète. Ces dernières années, une nouvelle science est apparue : l'« ethnomathématique » qui vise à comprendre les relations entre les idées mathématiques et la vision du monde, la mentalité et la culture des différents peuples, et leurs relations avec le contexte économique et social. La naissance de la géométrie Chaque culture conçoit l'espace géographique et physique qui l'environne (le village, son territoire, les rivières, les montagnes, les étoiles visibles) dans le cadre d'un certain « ordre » physique et mental ; inversement, le cadre conceptuel à travers lequel le monde extérieur est considéré conditionne la perception humaine des faits physiques. Par exemple, dès l'époque des Grecs, la culture occidentale a conçu le monde physique selon la géométrie d'Euclide : un espace à trois dimensions (hauteur, largeur et profondeur), continu et uniforme (doté partout des mêmes propriétés et privé de « trous »), formé de points, de droites et de figures planes (comme le cercle, les triangles et tous les autres polygones) et de solides (comme la sphère, la pyramide et d'autres polyèdres). Le mot géométrie signifie « mesure de la terre ». Einstein disait que la géométrie pouvait être considérée comme la branche la plus ancienne de la physique, puisque la géométrie et les mathématiques doivent leur existence à notre besoin de comprendre la nature des objets réels. Par ailleurs, certaines idées géométriques se sont développées en relation avec d'autres intérêts humains, tels que l'art et la religion. Par exemple, dans la décoration des objets en céramique, que l'on trouve dès les cultures les plus anciennes, on a eu recours à l'utilisation de formes, de figures et de symétries qui correspondent aux concepts géométriques fondamentaux. La naissance de l'arithmétique Les activités pratiques et de nombreux autres aspects de la vie des hommes mènent de façon naturelle à compter, à calculer, et à tenir des registres d'informations, élaborés selon des principes logiques et numériques. Que l'on songe seulement à la distribution et aux transferts des vivres et d'autres biens (stockage, vente), aux plans pour la construction des maisons, des temples et des fortifications, et aux différents aspects de l'administration (recensement de la population, prélèvement des impôts, etc.), aux calendriers et à l'enregistrement des événements astronomiques. Ces activités, fondamentales dans toute vie sociale, se sont développées sous diverses formes dans les différentes sociétés. Cela va des opérations élémentaires d'une petite tribu agricole, à la bureaucratie des scribes en Égypte et à Babylone, jusqu'à notre civilisation de l'information, dans laquelle les ordinateurs sont à ce jour les instruments les plus sophistiqués. Dans tous ces domaines, le premier rôle est tenu par les nombres, par leurs représentations 2 symboliques et par les techniques permettant de les manipuler, autrement dit par ce que l'on appelle l'arithmétique. Le développement des idées concernant l'espace, les figures et les formes, l'utilisation des nombres et les procédés pour effectuer des comptes et des calculs, ont permis aux hommes d'améliorer leur connaissance du monde, de résoudre de nombreux problèmes pratiques et de donner une réponse à certaines questions profondes caractéristiques de la spéculation humaine. Par exemple, le peuple Malekula de l'Océanie a une tradition de dessins de figures sur le sable qui est reliée à d'anciennes croyances. Pour atteindre la Terre des Morts, gardée par un ogre semblable à une araignée, chaque homme doit tracer sur le sable une figure particulière. La réalisation de ces figures, ou parcours, est soumise à certaines conditions. Elles doivent être dessinées sans lever le doigt du sable, en parcourant chaque ligne une seule fois et, si possible, commencer et finir au même point. Les Malekula ont ainsi acquis une grande habileté et ont inventé des procédures fixes pour tracer ces figures. Dans cette tradition, on retrouve l'idée sous-jacente des « graphes », un objet mathématique de type géométrique qui a été étudié en profondeur par les mathématiciens du XXe siècle. Un graphe est un ensemble de points ou « sommets » reliés par des lignes, dites « arêtes ». Imaginons un tel graphe dans le plan, réalisé de façon que chaque sommet soit relié à chaque autre sommet par une ou plusieurs arêtes. Nous nous rendons compte qu'un tel dessin peut être utilisé comme une carte pour décrire schématiquement la disposition d'un lieu. Par exemple, le grand mathématicien suisse du XVIIIe siècle Leonhard Euler (1707-1783), résolut de cette manière le problème de Königsberg concernant les sept ponts de la rivière Pregel (la ville s'appelait Königsberg à l'époque allemande, désormais russe, elle porte le nom de Kaliningrad). Euler se posa la question suivante : est-il possible de déterminer une « promenade » continue passant par tous les lieux (ou sommets) une seule fois ; ou mieux, est-il possible de commencer la promenade en un sommet donné et d'y revenir en étant passé par tous les autres sommets une seule fois ? Nous observons une curieuse analogie entre le défi des Malekula et celui que se posa Euler, par goût du jeu ou de la devinette mathématique. Il est facile de comprendre que de tels schémas peuvent se révéler très utiles pour décrire et résoudre des problèmes de nature combinatoire. Et, en effet, les graphes ont trouvé de nombreuses applications dans la science contemporaine, non seulement en physique et en chimie, mais aussi dans les problèmes techniques posés par les circuits électriques, dans la théorie des transports et même dans l'étude de la dynamique des groupes sociaux. MÉSOPOTAMIE ET ÉGYPTE En Extrême-Orient et au Moyen-Orient, dès le VIIIe millénaire av. J.-C., on utilisait un système d'enregistrement et de comptabilité fondé sur de petits objets d'argile, qui semblent avoir donné naissance, à la fin du IVe millénaire, à l'écriture et aux notations des nombres et des mesures. Dès le IIIe millénaire av. J.-C., sur les rives du Tigre et de l'Euphrate, se développèrent des villes et des cultures indépendantes, même si elles étaient reliées entre elles, qui formèrent la civilisation de la Mésopotamie. On y a retrouvé les premiers témoignages connus de l'écriture. Il s'agit de tablettes d'argile présentant des incisions dans des caractères dits cunéiformes, et qui correspondent à la langue sumérienne. Ces tablettes sont des registres servant à l'un des premiers exemples d'organisation de type étatique. Les 3 fonctionnaires au service du roi ou du temple eurent l'idée de prendre des notes pour posséder un enregistrement durable et précis des différentes activités, en particulier le paiement des impôts par les sujets. En effet, parmi les différents caractères figurant sur les tablettes sumériennes, on trouve des nombres, des calculs et des mesures concernant d'abord les dépôts de blé dans le temple, puis de nombreuses autres questions de comptabilité et d'administration des biens. Le savoir mathématique dans la civilisation mésopotamienne, tout comme en Égypte, était un ensemble de connaissances de type pratique, utile pour l'exercice de certaines professions. En premier lieu, celle de scribe, fonctionnaire dont la spécialité était l'écriture, et qui s'occupait d'arpentage et de comptabilité - d'où notre terme actuel de « géomètre » -, puis celle du maître maçon, de l'architecte et du marchand. Pour résoudre les différents problèmes de l'activité quotidienne, des « recettes » ou méthodes étaient transmises : par exemple, pour calculer la surface d'un champ (ce qui équivaut à un problème de géométrie), pour distribuer les vivres, la solde des troupes, pour attribuer un héritage, vendre ou acquérir des marchandises (ce qui pose un problème arithmétique et de métrologie, c'est-à-dire la nécessité de déterminer des procédés unifiés de mesure). Les calculs servaient non seulement au calcul marchand et notarié et aux registres numériques mais aussi en astronomie et en astrologie. L'observation et l'étude des étoiles sont l'un des intérêts humains les plus anciens, et sont intimement liées aux mathématiques (voir cosmologie classique). À Babylone, durant la période que l'on a coutume d'appeler paléobabylonienne (de 1900 à 1600 av. J.-C.), se développa un intérêt pour la résolution de problèmes mathématiques toujours liés aux activités quotidiennes, mais de plus en plus compliqués et abstraits, et dont la solution n'avait pas d'utilité pratique directe. L'homme éprouve du plaisir dans les défis intellectuels, comme dans les activités artistiques. À cette époque, on attribuait beaucoup d'importance à l'individu, et, pour briser la monotonie de leur travail bureaucratique, les scribes s'essayaient à la composition de textes littéraires et à des exercices d'habileté mathématique. Ils devinrent de plus en plus experts tant par goût du divertissement que pour montrer leur talent et se distinguer de leurs collègues. En outre, furent créées des « écoles », dans lesquelles les connaissances acquises étaient conservées et transmises de façon plus organisée que ne le permettait la transmission orale de la tradition au sein d'un groupe d'artisans. Cela demanda des approches plus précises, l'élaboration de « preuves » visant à convaincre les étudiants, ainsi qu'une organisation des connaissances moins désordonnée et plus générale. Dans ce but, l'école proposait des problèmes destinés uniquement à l'exercice des notions apprises sans souci d'applications pratiques immédiates. De là est né ce que l'on appelle aujourd'hui les « mathématiques pures ». Dans le cadre des activités pratiques liées à l'administration, à l'arpentage ou aux constructions, les Babyloniens utilisaient des tables d'arithmétique (pour la multiplication, le calcul des nombres inverses et les carrés des nombres), des tables métrologiques (pour la conversion des différentes unités de mesure dans leur système sexagésimal), et des tables techniques (qui fournissaient des constantes utiles pour les applications). Grâce à ces instruments, on pouvait calculer l'aire des champs, le volume des canaux ou des ouvrages d'art militaires. Les champs étaient divisés en triangles rectangles, en trapèzes rectangles et en quadrilatères rectangles, dont l'aire était connue, et la superficie totale était calculée en ajoutant toutes ces superficies. Les Babyloniens savaient que le résultat n'était pas exact mais se préoccupaient peu des erreurs. Ils résolvaient les problèmes pratiques au cas par cas, sans considérer les questions théoriques sous-jacentes. 4 Ils calculaient l'aire du cercle comme multiple du carré de la circonférence, et la circonférence comme multiple du diamètre, prenant 3 comme valeur de ?, et ils calculaient aussi les volumes de différentes figures. La réalisation la plus importante des Babyloniens est leur algèbre du second degré et des degrés supérieurs. Ils savaient donc résoudre des problèmes qui correspondaient à des équations du second degré ou plus, mais n'utilisaient pas de symboles (comme notre « inconnue » x), ni de mots pour désigner des quantités inconnues. Leur façon d'affronter ces problèmes se fondait sur une géométrie intuitive, qui consistait à associer des quantités comme des prix ou des poids inconnus à des segments de droite dont la longueur devait être calculée. Par exemple, l'équation que nous écririons x2 + x = A (et qui peut être aussi écrite sous la forme x(x + 1) = A) était conçue par eux comme un rectangle dont la longueur excède d'une unité la largeur, et dont l'aire connue est A. Au lieu d'appliquer les transformations que nous utilisons pour isoler l'inconnue de l'un des deux côtés de l'équation, les Babyloniens faisaient des manipulations avec le rectangle comme celles que l'on pourrait faire avec du papier et des ciseaux. Mais ils ne fournissaient aucune preuve ou aucun argument pour convaincre de la justesse de cette procédure, puisqu'elle leur semblait intuitivement évidente. Dans la période qui a suivi la fin de l'Empire assyrien, les prêtres-astrologues babyloniens développèrent une astronomie planétaire très sophistiquée. On ne sait rien des concepts de la physique qui caractérisaient leur vision des événements astronomiques, même s'il semble qu'ils étaient moins développés que leurs considérations arithmétiques. Sur la base de longues séquences d'observations, en utilisant leurs connaissances des progressions arithmétiques et des règles de la proportionnalité, et en ayant recours à des tables compliquées, ils étaient capables de prévoir, avec une précision remarquable, les positions de la Lune, du Soleil et des planètes, et même les éclipses. Nos informations sur les mathématiques égyptiennes concernent surtout les notations numériques qui ont été retrouvées dans certains papyrus parvenus jusqu'à nous, comme le célèbre papyrus de Rhind. Leur système de numération se fondait sur la base dix, non positionnelle, et les seules fractions utilisées étaient les fractions unitaires, c'est-à-dire ayant l'unité comme numérateur. Les scribes développèrent des procédures ingénieuses pour effectuer les opérations arithmétiques au moyen de ce système apparemment très primitif. Ils appliquaient différentes règles de géométrie pratique au calcul d'aires : l'historien grec Hérodote affirmait que de cette façon ils étaient capables de redistribuer équitablement les champs à leurs propriétaires après chaque inondation du Nil. Mais ils savaient aussi mesurer le volume et l'inclinaison de plans obliques, connaissances qu'ils appliquaient à la construction des pyramides et au calcul de la capacité des greniers. En outre, ils avaient recours à un instrument rudimentaire de similitude et de proportionnalité, pour décorer les murs de leurs édifices. CHINE ET INDE D'autres traditions mathématiques autonomes se développèrent dans les deux autres espaces culturels importants de l'Orient : la civilisation des fleuves Yangzi Jiang et Huang He et celle de la vallée du fleuve Indus. Les Chinois possédaient déjà un système de numération positionnelle au XIVe siècle av. J.-C., et développèrent progressivement leurs connaissances en géométrie et en astronomie. Le plus ancien texte mathématique chinois conservé a 5 pour titre Jiuzhang suanshu (Prescriptions de calcul en neuf chapitres). Il fut écrit par un auteur inconnu, en chinois classique, dans la période Han (206 av. J.-C.-220 apr. J.-C.) et eut une grande influence. Il s'agit d'une collection de 246 problèmes avec les solutions numériques correspondantes et l'explication des règles permettant de les résoudre. On y trouve beaucoup de problèmes pratiques, mais aussi de type récréatif, comme celui du chien qui poursuit un lapin. Ce que l'on appelle l'âge d'or des mathématiques chinoises correspond à la période de la chute de la dynastie Song et du début de la dynastie mongole Yuan, au XIIIe siècle. En Inde, les premiers textes qui traitent de questions mathématiques, au cours du Ier millénaire av. J.-C., sont les Sulbasutras, dans lesquels est expliquée la technique de construction des autels pour les sacrifices de la religion védique. Selon la prescription religieuse (qui nous rappelle les dessins des Malekula), il fallait construire des autels de différentes formes, mais ayant la même aire. L'autel se composait de cinq couches, chacune comprenant 200 briques de forme différente, qui étaient disposées de façon que les interstices verticaux entre les briques de couches rapprochées ne coïncident pas. Ces exigences relevant à la fois de la théologie et de la maçonnerie donnèrent lieu au développement de calculs sophistiqués et de procédures géométriques, pour calculer par exemple la diagonale d'un carré, ou pour transformer des figures sans en modifier l'aire, comme la transformation d'un carré en cercle ou d'un cercle en carré (cette dernière transformation est appelée « quadrature du cercle »). Dans ces traités, nous trouvons également le théorème de Pythagore (v. 570-480 av. J.-C.), présenté sous forme de règle, et l'on donne des exemples de triplets pythagoriques, c'est-àdire des groupes de trois nombres permettant de vérifier le théorème de Pythagore : par exemple, 3, 4, 5 (étant donné que 32 + 42 = 52), ou bien 5, 12, 13. Toutes les anciennes traditions culturelles de l'Inde considérèrent la capacité à compter comme un sujet important dans l'éducation, et elles développèrent les premières un système de numération décimale positionnelle qui permettait d'écrire des nombres ayant jusqu'à 18 chiffres (c'est-à-dire jusqu'à 1018) et utilisait le zéro. Cela leur permit d'acquérir une grande habileté de calcul pour traiter aussi bien les nombres que les quantités inconnues (ce que nous appelons aujourd'hui algèbre). Dans la tradition indienne, les mathématiques appartenaient à la science astrale (jyotihsastra), formée de trois branches : les mathématiques (ganita ou tantra), l'astrologie et la divination. La première branche comprenait l'astronomie, l'étude du calendrier et les mathématiques à proprement parler. En effet, les Siddhanta, ouvrages d'astronomie en vers, écrits en sanskrit, contenaient des chapitres spécifiques concernant les mathématiques. Parmi les auteurs les plus importants, citons Aryabhata (né en 476 apr. J.-C.) et Brahmagupta (v. 598-660 apr. J.-C.). Le premier, dans son ouvrage Aryabhatiya, consacre un chapitre aux mathématiques, contenant des vers sur le « champ » ou géométrie, et sur la « quantité », c'est-àdire l'arithmétique et l'algèbre. DE NOMBREUSES PISTES À LA CROISÉE DES CULTURES Au VIe siècle av. J.-C., commença le développement de la culture hellénistique, qui connut des scénarios différents dans les différentes cités de l'Empire. Cette culture était présente en Grèce mais aussi au sud des Balkans, dans les colonies de la Grande-Grèce au sud-est de la péninsule italienne, en Ionie et en Asie Mineure. C'est là que naquit une forme de pensée philosophique qui, tout en étant influencée par les cultures orientales, montra une originalité profonde, et représenta le point de 6 départ du développement de la philosophie et de la science en Occident. Les idées mathématiques dans la culture grecque se développèrent elles aussi de manière extrêmement originale. Les mathématiques, et en particulier la géométrie, furent conçues comme un savoir théorique, de niveau supérieur aux connaissances ordinaires appliquées dans la vie quotidienne, et furent pratiquées de façon systématique à seule fin de perfectionner les connaissances et de les déduire de manière logiquement rigoureuse. Les mathématiques, tout comme d'autres entreprises intellectuelles des Grecs, étaient considérées comme un moyen de se poser de grandes questions sur le monde, de façon rationnelle et dans le but de découvrir la vérité. Par conséquent, les mathématiciens grecs énoncèrent quelques grands problèmes qui ont fait l'objet, depuis les temps les plus reculés jusqu'à l'époque des grandes conquêtes d'Alexandre le Grand, d'un grand nombre de recherches et d'études suivant des méthodes diverses. Le fait que nous considérions les « mathématiques » comme un savoir est un héritage direct de la pensée grecque. Les mathématiques grecques, en effet, prirent progressivement le dessus sur les savoirs mathématiques issus d'autres cultures. Cependant, il y eut beaucoup de contacts et d'échanges culturels. Par exemple, les mathématiques pratiques, qui précédèrent les mathématiques théoriques grecques, survécurent au sein d'une tradition parallèle qui se transmettait des experts aux apprentis et se propageait d'un pays à l'autre par l'intermédiaire des marchands et des navigateurs. Les historiens des mathématiques ont trouvé la trace de problèmes très particuliers et de devinettes mathématiques, repris par le mathématicien grec Diophante et proposés au cours du Moyen Âge en Inde, mais également dans le monde arabe, et que l'on retrouve aussi dans la tradition chinoise. On a retrouvé aussi un ouvrage de mathématiques récréatives écrit en latin en France, à l'époque de Charlemagne. Ces traces correspondent au réseau commercial connu sous le nom de « route de la soie ». L'un de ces problèmes figure également sur une tablette paléobabylonienne de la ville de Mari. Les chercheurs les plus sérieux, comme Diophante, s'intéressaient à ces problèmes. Ils les citaient dans leurs livres et les résolvaient de manière scientifique et non au moyen de « recettes ». Ils suivaient ainsi la pratique des écrivains de l'époque, comme Apulée ou Boccace, qui reprenaient des histoires appartenant au « folklore » pour les insérer dans leurs ouvrages. Par exemple, l'ouvrage le plus ancien en sanskrit où l'on utilise un symbole pour le zéro - le point (bindu) -, c'est-à-dire pour une position sans unité dans le système décimal, remonte à 269-270 apr. J.-C. et est la traduction d'un ouvrage grec d'astrologie datant de 100 apr. J.-C., aujourd'hui perdu. Un exemple plus curieux encore concerne le savoir mathématique traditionnel du Japon, appelé wasan - wa signifie « japonais », san (en chinois sua) signifie « calcul » ou « arithmétique » qui s'inspira au XVIIe siècle des mathématiques chinoises et, en particulier, de la traduction d'un ouvrage chinois de 1299, Suanxue quimeng (Introduction aux études mathématiques). Cet ouvrage venu de Corée fut introduit au Japon à la fin du XVIe siècle à la faveur des incursions militaires japonaises dans ce pays, à une époque où les mathématiques chinoises déclinaient, du fait, entre autres, des bouleversements politiques. Dans l'esprit des mathématiques chinoises, ce livre présentait plusieurs règles de résolution d'équations mais ne fournissait pas les explications nécessaires et, en l'absence d'autres connaissances, il était incompréhensible. Un groupe de chercheurs japonais essaya de le déchiffrer et élabora ainsi un savoir mathématique autonome, à une période où le Japon connaissait un isolement politique et commercial qui se poursuivit jusqu'au milieu du XIXe siècle. 7 Il y eut également des traditions mathématiques indigènes complètement indépendantes des grandes cultures mentionnées précédemment, comme celle de la civilisation maya, en Amérique centrale, qui atteignit son point culminant entre le IIIe et le IXe siècle apr. J.-C., puis disparut définitivement après la découverte et la conquête de l'Amérique. Les Mayas élaborèrent une écriture hiéroglyphique indépendante de celles de l'Ancien Continent, et un système de numération en base 20, dans lequel les nombres compris entre 1 et 19 étaient représentés en regroupant de façon appropriée deux types de symboles : les barres (de valeur 5) et les points (dont la valeur était 1). Dans cette civilisation il existait également une caste sacerdotale et noble de scribes pour laquelle le savoir mathématique revêtait une importance particulière. Ses intérêts dans ce domaine étaient liés au calendrier, à la chronologie et à l'astronomie. Les pièces archéologiques retrouvées contiennent de nombreuses représentations de ces scribes en train d'étudier ou d'écrire, à côté de symboles astronomiques et numériques. Nous savons que les mathématiques grecques connurent un développement prodigieux qui transforma et codifia les méthodes et les concepts mathématiques, jetant les bases du rôle des mathématiques dans le système moderne des connaissances. Mais les savoirs mathématiques « traditionnels » furent préservés dans plusieurs domaines et ce, jusqu'à il y a quelques siècles, en Inde, en Chine et dans la tradition wasan. Cependant, dans ces pays, furent progressivement créés des collèges et des universités où l'on enseignait les mathématiques de l'Europe occidentale, et où furent traduits les manuels qui résumaient le savoir mathématique européen. Même en Chine, où subsistent encore certains savoirs traditionnels (comme la médecine), les mathématiques s'« occidentalisèrent » définitivement après la révolution de 1911, et les mathématiciens chinois occupent désormais une position tout à fait respectable au sein de la communauté mathématique contemporaine. Les mathématiques sont ainsi devenues une forme de connaissance internationale, au développement de laquelle contribuent des savants de tous les continents. LES MATHÉMATIQUES GRECQUES LES ORIGINES LÉGENDAIRES : THALÈS ET PYTHAGORE À Milet, ville commerciale très puissante durant la période qui précéda la démocratie athénienne, vivait Thalès (v. 624-545 av. J.-C.), le premier « mathématicien » dont on garde le souvenir. Thalès, homme très cultivé, mais également grand voyageur, est l'un des membres de l'école ionienne, avec Anaximandre (v. 616-540 av. J.-C.) et Anaximène (v. 586-528 av. J.-C.). On lui attribue plusieurs résultats ou « propositions » de géométrie. Le premier est celui que l'on appelle aujourd'hui théorème de Thalès, selon lequel l'angle inscrit dans une demi-circonférence est un angle droit. On dit qu'il aurait proposé une manière de mesurer la distance d'un navire à la rive, en appliquant le principe selon lequel deux triangles ayant un côté égal adjacent à des angles égaux sont identiques. On dit également, même s'il semble que cela soit faux, qu'il suscita l'étonnement de ses concitoyens en prévoyant l'éclipse de Soleil qui eut lieu en 585 av. J.-C. En fait, nos connaissances des mathématiques grecques précédant l'époque alexandrine (c'est-à-dire avant le IIIe siècle av. J.-C.) sont très incertaines. La source la plus importante, en effet, remonte à mille années après l'époque de Thalès. Il s'agit du 8 résumé d'un ouvrage concernant l'histoire des mathématiques, écrit par un disciple d'Aristote, Eudème de Rhodes. L'autre grand n...