Les mathématiques sont une étude où l’on ignore de quoi l’on parle et où l’on ne sait pas si ce que l’on dit est vrai. Russell

« 312 / Mathématiques (axiomatique) base d'un système mathématique particulier.

Saisir le sens de la phrase de Russell nécessite que l'on com­ prenne comment on a interprété la géométrie eucli­ dienne, et comment ia naissance des géométries non euclidiennes a eu pour effet de bannir les notions d'intuition et d'évidence des mathématiques.

· On a longtemps considéré que les mathématiques avaient des objets bien spécifiés: le nombre pour l'arithmétique et l'espace pour la géométrie.

De plus les mathématiques passaient pour un modèle de rigueur démonstrative suspendu à des principes absolument certains et intuitivement évidents.

Ainsi, jusqu'au XIX' siècle, a-t-on considéré la géométrie d'Euclide comme exemplaire, comme vraie et du point de vue expérimental (elle semblait un parfait modèle de l'espace physique dans lequel nous vivons) et du point de vue rationnel (on pensait que c'était la seule géomé­ trie cohérente, logiquement consistante).

Il y avait pourtant un point choquant dans la géométrie • d'Euclide: l'appel à une proposition particulière, qu'Euclide ne démontre pas: par un point hors d'une droite ne pàsse qu'une droite parallèle à la première droite donnée.

Il la justifie par une sorte d'appel à l'évi­ dence intuitive (elle semble vraie).

Or s'il semble sèan­ daleux qu'Euclide demande qu'on admette cette proposition (on devrait pouvoir la démontrer), par contre personne n'a jamais remis en cause sa vérité.

Autrement dit, on a admis la vérité non démontrée de cette proposition parce qu'elle semblait intuitivement exacte, et correspondait à notre perception de l'espace: bref, elle était évidente.

Or, quand on a essayé de démontrer cette proposition par l'absurde, est apparu ce résultat scandaleux qu'on pouvait bâtir plusieurs géométries différentes et toutes. »