maths corrigé seconde chap.1

Notions de fonction Chapitre 1 Ce 1er chapitre consacré aux fonctions, à traiter très tôt dans l'année, donne l'occasion de revoir les notions d'image par une fonction et de courbe représentative d'une fonction vues en classe de troisième. Il est complété ici par la notion d'ensemble de définition (et donc d'intervalle), mais aussi par de nombreuses capacités concernant l'obtention d'une image, d'un tableau de valeurs ou d'une représentation graphique, à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel adapté. Ce chapitre peut aussi être abordé par le dernier paragraphe du cours sur les différentes façons de définir une fonction (ou une quantité en fonction d'une autre). La notion d'antécédent, plus utilisée pour les équations du type f(x) = k, a volontairement été écartée de ce chapitre, pour ne pas que l'élève fasse de confusion avec la notion d'image ; elle intervient donc plutôt dans le 2e chapitre. Enfin, un moment doit être prévu pour faire découvrir l'existence des mémoires de la calculatrice, pour mieux appréhender ensuite l'affectation des valeurs dans un algorithme. © Éditions Belin 2010 Ouverture « L'ascension débutera dans les jours qui viennent en fonction des conditions météorologiques «. Cette phrase est naturelle et toute personne, en l'écoutant, établit une correspondance entre le temps qu'il va faire dans les jours qui viennent et l'ascension prévue : le concept de fonction est utilisé par l'homme depuis toujours. Il est tellement naturel qu'il fut longtemps utilisé comme dans le langage courant, sans aucune axiomatisation : une fonction était souvent une « boîte noire « qui, recevant un réel, va (ou ne va pas) fournir un réel ; c'est ce qui apparaît dans les travaux d'Euler qui utilise des « formules « permettant, ou non, de calculer des valeurs : aucun domaine n'est précisé, c'est une tentative de calcul qui peut ne pas aboutir... Un changement radical de point de vue va s'effectuer avec Riemann ; pour étudier de nouveaux concepts, comme la continuité ou la dérivabilité, il était important d'avoir des définitions précises et on assista alors à une axiomatisation précise des concepts de fonction. Ce sont les premiers pas de ces concepts qui sont l'objet de ce chapitre. Pour Euler l'écriture proposée : 0,99999..., qui n'est pas un développement décimal « propre «, ne pose aucun problème. Sans recours à la notion de somme d'une série, sans hésiter il lui attribue la valeur 1. C'est évidemment une réponse facile à imaginer : 0,9 est une nombre décimal, strictement inférieur à 1, mais à une distance de 1/10 du nombre 1, de même 0,99 est lui à une distance de 1/100, 0,999 à une distance de 1/1000,... Chapitre 1 ? Notions de fonction 7 Pour bien commencer Exercice 1 1. b/ et d/. 2. b/ et c/. 3. b/ et c/. 4. b/ et c/. Exercice 2 1. b/, c/ et d/. 2. b/ et c/. n Activités d'introductio © Éditions Belin 2010 Commentaires Chacune des activités demandent une part non négligeable de prise d'initiative de la part des élèves, notamment les activités 4 et 5. Elles permettent de réinvestir la notion de fonction vue en classe de troisième, mais aussi d'aborder tout le cours, en s'aidant d'une calculatrice graphique ou d'un logiciel adapté. L'activité 1 met en oeuvre deux algorithmes différents menant à la même expression algébrique. On peut alors réintroduire la notion d'image et de fonction. Cette activité est aussi l'occasion de voir le niveau des élèves concernant les techniques de développement, de factorisation, et de résolution d'une équation, qui seront revues dans le chapitre 4 : ces techniques algébriques n'étant pas l'objectif principal (à demander quand même aux meilleurs élèves), on pourra ici se satisfaire d'un logiciel de calcul formel ou d'une représentation graphique. En effet, l'essentiel est que les élèves voient que plusieurs nombres différents au départ peuvent avoir la même image par une fonction. L'activité 2 illustre également le fait que plusieurs nombres distincts peuvent avoir la même image par une fonction f, mais montre surtout que l'ordonnée d'un point M de la courbe représentative de f est égale à l'image de l'abscisse de M. La méconnaissance du logiciel GeoGebra n'empêche nullement la réussite de cette activité. L'activité 3 est utile pour travailler sur le sens de l'expression « en fonction de «, ainsi que sur la capacité à reconnaître la variable utilisée pour la fonction. 8 Chapitre 1 ? Notions de fonction L'activité 4 insiste d'abord sur la nécessité d'utiliser les ensembles de nombres que sont les intervalles ; et elle fait rechercher des méthodes pour obtenir l'ensemble de toutes les images, en réintroduisant ici la notion de tableau de valeurs et de courbe représentative, et en recherchant une fenêtre adaptée. Enfin, l'activité 5 fait rechercher l'expression d'un temps T en fonction de la profondeur du puits. Et elle donne l'occasion de rechercher l'image d'un intervalle par une fonction, en discutant sur la pertinence du pas d'un tableau de valeurs, le choix de la représentation graphique devant apparaître plus judicieux, à condition que la courbe soit tracée minutieusement (au millimètre près). Activité 1 1. a/ Le résultat est -40. b/ Le résultat est -40. c/ Avec un nombre x pris au départ, l'algorithme A donne 4 x 2 + 28x, et l'algorithme B donne (2x + 7)2 - 49 = 4 x 2 + 28x. On obtient donc le même résultat : les deux algorithmes décrivent la même fonction. 2. a/ Avec -2 ou -5, on obtient -40. b/ (2x + 7)2 - 49 = - 40 <=> (2x + 7)2 - 9 = 0 <=> (2x + 4)(2x + 10) = 0 <=> x = -2 ou x = -5. Donc seuls -2 ou -5 aboutissent au même résultat -40. 3. a/ En prenant 0 au départ, on obtient 0 à l'arrivée. b/ (2x + 7)2 - 49 = 0 <=> 2x(2x + 14) = 0 <=> x = 0 ou x = -7. Donc -7 aboutit aussi au résultat 0. Activité 2 @ fichier GeoGebra disponible sur www.libtheque.fr/mathslycee. Les résultats sont donnés avec&...