'1"La fonction logarithme n ép érien : propriétés algébriques L'essentiel du cours Propriétés • Pour tous les nombres réels a...
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« '1"La fonction logarithme n ép érien : propriétés algébriques L'essentiel du cours Propriétés • Pour tous les nombres réels a et b strictement positifs, on a : ln(ab) = ln(a) + ln(b) (relation fonctionnelle). • Pout tout nombre réel a strictement positif, on a : 1 ln- =-lna; • aPour tous les nombres réels a et b strictement positifs, on a : • Pour tout nombre rée l a strictement positif, on a : 1n( ~)= lna - lnb; ln✓a = ~lna ; 2 • Pour tout nombre réel a strictement positif et tout entier n, on a : ln a•= nlna. Exemples 1 ln 6 = ln(2x3) = ln 2 + ln 3 ; ln 3 + ln 4 + ln - = ln(3x4) - ln(12) = ln(12) - ln(12) = O. 12 Équotion et inéquation avec la fonction logarithme népérien Soit a et b deux nombres réels, - lna = lnb si et seulement si a= b ; - lna < lnb si et seulement si a< b (l'équivalence est vraie si les inégalités ne sont pas strictes) ; - lna > lnb si et seulement si a > b (l'équivalence est vraie si les inégalités ne sont pas strictes) ; - si, de plus, b E Il( : a= lnb, si et seulement si e• = b. Exemple ln (3x + 1) > 2ln2 ln(3x + 1)>ln4 3X + 1 > 4 3X >3 x > 1. Résolution d'une équation du type x" = k Lorsq ue n est un nombre entier et k un nombre réel strictement positif: - ~ldJ.)t: l (utilisation du logarithme) : x" = k ln(x') = ln(k); - étape 2 (utilisat ion d'une propri été de la fonction ln): ln(x") ln(k) nln(x) = = =ln(k) ; =ln(k) ln(x) =lnk ; n '" 7 1 - étape 4 (utilisation de l'exponentielle) : ln(x) = lnk e nx = e ; - étape 3 (on divise les deux membres par n) : nln(x) n - étape.... »
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