,.. Intégrale d'une fonction sur un intervalle L' essentiel du cours Définition • Une intégrale, lorsqu'elle existe, est une valeur...
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Intégrale d'une fonction
sur un intervalle
L' essentiel du cours
Définition
• Une intégrale, lorsqu'elle existe, est une valeur réelle.
• Si une fonction f est continue sur un intervalle [a; b].
alors elle admet une primitive F te lle que F'(x) = f(x).
On a alors :
Jb
f(x)dx = [F(x) J = F(b) - F(a).
a
a
Exemples
2
= [ x J: =2 2 - 12 =4-1=3.
• f ,\xdx
• fc 3e
1
3
'
dx = [ e 3x
est la fonction x -
•f\ix
J:
= el - e0 = el - 1 car une primitive de la fonction x -
e3x_
1
2
dx = [~e 2• ] = ~ 2
0
est la fonction
3e 3'
2
0
e° = e
2
1
-
2
car une primitive de la fonction x - eix
x - ~eu.
2
Propriétés
Relation de Chasles
Soit/ une fonction continue sur un intervalle I et (a, b, c) e P.
On a :
r
f(x)dx +
I:
f(x)dx
=
I:
f(x)dx .
Linéarité de l'intégrale
Soit f et g deux fonctions continues sur un inte rvalle 1, (a, b) e 12 et le réel k.
On a:
- r(f(x) + g(x))dx =
r r
f(x)dx +
g(x)dx ;
-S:kf(x)dx k S: f(x)dx.
=
Positivité de l'intégrale
• Soitf une fonct ion continue sur un intervalle I et (a, b) e 12.
Si pour tout réel x
appartenant à l'intervalle [a; b) on af(x)
>
o, alorsf f(x)dx
>
o.
• En corollaire : pour g continue sur 1, si pour tout réel x appartenant à l'intervalle
f
[a; b) on a/(x) > g(x), alors
f(x)dx
>
S: g(x)dx.
Exercice résolu
On considère la fonction f définie sur IR par f(x) =....
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