~La fonction exponentielle · propriétés graphiques L' essentiel du cours C'est en recherchant des fonctions dérivables sur !Hl dont la...
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~La fonction exponentielle ·
propriétés graphiques
L' essentiel du cours
C'est en recherchant des fonctions dérivables sur !Hl dont la
dérivée est proportionnelle à la fonction que l'on est conduit
à l'étude de la fonction exponentielle.
Celle-ci joue un rôle
capital en mathématiques car c'est une fonction de référence.
Définition
• La fonction exponentielle (x ......
e' = exp(x)) est l'unique
fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels vérifiant tes deux conditions
suivantes :
- pour tout nombre réel x, exp'(x) = exp(x) et exp(O) = e0 = 1 ;
- pour tout nombre réel x, on a : ex.
e·•= 1
1
• On a e = e "' 2,718.
• On a e· 1 = ~ ...
0,368.
e
Variation et représentot1on graphique
• La fonction exponentielle est égale à sa dérivée.
Pour tout nombre rée l x, en
posant f(x) = ex, on a f '(x) = f(x).
• Pour tout nombre réel x, e" > o donc la fonction exponentielle est strictement
croissante.
Tableau de variation
X
0
-oo
f'(x) = e'
+
f(x)=e x
-----------
+oo
(~
Courbe représentative de la fonction exponentielle
l
)· = t +
S·
•
1
~
l
-$ - 1 -6 --5 -' - .\ - 1
Tangente au point d'abscisse o
• Une équation de ta tangente à la courbe représentative de ta fonction exponen·
tielle au point d'abscisse o est : y= j'(o)(x - O) + f(O) = e0x + e0 = x + 1.
Exercice résolu
On considère la fonction! définie sur IR dont la courbe représentative Cf est tracée
ci-dessous dans un repère orthonormé.
c,
On suppose quef est de la forme : f (x) = (b - x)e 0 x où a et b désignent deux constantes.
On sait que :
- les points A(o; 2) et D(2 ; o) appartiennent à la courbe Cf ;
- la tangente à la courbe Cl au point....
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