La loi binomiale L'essentiel du cours Défin ition d' une loi binomiale • Une épreuve de Bernoulli est une expérience...
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La loi binomiale
L'essentiel du cours
Défin ition d' une loi binomiale
• Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui conduit à deux issues:
réussite ou échec.
Si p est la probabilité de réussite, la probabilité d'échec est 1 - p.
• Lorsque l'on répète une épreuve de Bernoulli on obtient un schéma de Bernoulli.
La loi de probabilité de la var ia ble aléatoire égale au nombre de succès d'un
schéma de Bernoulli s'appelle une loi binomiale.
Sin est le nombre de répétitions
de l'expérience etp la probabilité de réuss ite de chacune, on note cette loi B(n; p).
• Pour qu'une loi soit une loi binomiale, il faut que trois conditions soient réalisées : on répèt e une expérience aléatoire ; chaq ue expérience a deux issues
(réussite, échec) ; les résultats sont indépendants.
Calcul d' une probabilité avec la loi binomiale
Propriété
Si une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(n; p) alors la probabilité de
k succès (k compris entre o et n) est égale à : P(X = k) = (; ) x
lx (1 - pf - k.
Remarque
le coeffi cient binomial est donné par la calculatrice :
- pour la Texas instrument Tl 82 : dans le menu Maths, choisir l'option PRB et
sélectionner nCr ;
- pour la Casio Graph 25 : dans le menu OPTION, choisir PROB, puis nCr.
(n est le nombre de répét itions et r la probabilité de réussite.)
Espérance d'une loi binomiale
Espérance de la variable aléatoire X associée à une épreuve de Bernoulli
la loi de probabilité de X est donnée par le tab leau :
0
1 ;
1- p
1
:
1
Donc E(X) = o x (1 - p) + 1 x p = p.
Espérance de la variable aléatoire Yassociée à une loi binomiale B(n; p)
Pour n répétit ions on obtient E(Y) = n x p.
Exercice résolu
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur
point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.
L'enquête révèle que 55 % des élèves sont favorables à une pause plus longue
le midi et parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95 % sont pour une
répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire .
Parmi ceux qui ne veulent
pas de pause plus longue le midi, seulement 10 % sont pour une répartition des
cours plus étalée sur l'année scolaire.
On choisit un élève au hasard dans le lycée.
On considère les événements suivants:
L: « l'élève choisi est favorable....
»
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