► Les propriétés d'une figure géométrique ne dépendent pas de ce que son dessin (toujours approximatif) suggère, mais uniquement de...
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► Les propriétés d'une figure géométrique ne dépendent pas de ce
que son dessin (toujours approximatif) suggère, mais uniquement
de sa définition et de ce qui peut en dériver.
Le triangle ne peut donc
être perçu empiriquement, pas plus qu'un nombre ou une relation.
C9 Pure, la démonstration mathématique élabore
des vérités formelles
► On a longtemps admis que les mathématiques se fondaient sur
des propositions irréfutables, « évidentes» et universelles.
Contre
dire de tels axiomes (par exemple, « le tout est plus grand que la
partie») serait un déni de rationalité.
► En élaborant, au XIX' siècle, des géométries qui ne respectent
pas le cinquième postulat d'Euclide, Lobatchewski et Riemann ont
montré que celui-ci n'avait rien de nécessaire : l'espace euclidien,
loin d'être le seul, n'est qu'un espace parmi d'autres concevables.
La déduction mathématique peut donc être effectuée à partir d'un
ensemble d'axiomes dont la mise au point n'obéit qu'à des règles de
cohérence interne.
► La vérité des systèmes mathématiques, dits hypothético-déduc
tifs, est formelle, c'est-à-dire • vide» : la proposition 7 + 5 = 12,
vraie en arithmétique classique, névoque aucun objet....
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