" Limite d'une suite géométrique L'essentiel du cours Rappels sur les suites géométriques • La somme des (n + 1)...
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" Limite d'une suite
géométrique
L'essentiel du cours
Rappels sur les suites géométriques
• La somme des (n + 1) premiers termes d'une suite
géométrique (u) de raison q différente de 1 est égale à :
1- qn.1
u
0
x- - 1- q
• Résu ltat intermédiaire pour tout réel q différent de 1, on a :
1 - qn •l
1+
q + ...
+ q" = - - - .
1-q
Limite de ·a suite (q) avec q
0
• Premier cas : q est strictement co mpris entre o et 1 alors lim q" = o.
• Deuxième cas : q 1 alors lim q" 1.
n➔
=
=
00
• Troisième cas : q est stricte"~;nt supérieur à 1 alors lim q" = +oo.
n->oo
L1m1te d'une suite géometr1que de raison q
0
• Premier cas : la ra ison q est strictement comprise entre o et 1.
Soit (u) une suite géométrique de raison q où o < q < l, alors lim un = o.
400
• Second cas : La raison q est strictement plus grande que 1.
"
Soit (u) une suite géométrique de raison q où q est un réel strictement supérieur
à 1, alors :
- si u0 est strictement positif, alors lim un = +oo ;
n ➔oo
- si u0 est strictement négatif, alors lim un= - oo.
n➔oo
Limite de la somme des premiers termes d'une suite géométrique
Exemple
2
Déterminer la limite de 5 = 1 + + (
r.
½) + ...
+ ( ½
• Prem ière étape: on reconnaît la somme des n + 1 premiers termes d'une suite
géométrique de premier terme u0 = 1 et de raison q = ~ t 1 .
1-qn♦ 1
--.
1-q
On sait que 5 = u x 0
2
~
~
J
• Deuxième étape : on est dans le premier cas car o < q = < 1, donc lim (
= o.
2
• Troisième étape....
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