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« , LOGIQUE El MATHEMATIQUES Les princ�aux sujets qui portent sur la logique et_fes mathématiques �o��wsent essentiel­ lement à s'interroger sur la nature exacte de la pensee que ces deux dtsaplmes mettent en œuvre, ainsi que sur les rapports qu'elles entretiennent l'une avec l'autre. ■ La logique est l'étude des conditions formelles de la vérité. Elle ne concerne que les conditions de validité du raisonnement, sa cohérence interne, son accord avec les lois de la pensée.

Elle ne s'intéresse donc pas à la vérité matérielle des propositions, à leur accord avec la réalité objective. ■ Lewis Carroll, auteur d'une très sérieuse Logique sans peine, propose le raisonnement suivant : «Tous les chats comprennent le français. [Or] Quelques poulets son� des chats. [Donc] Quelques poulets comprennent le français." Ce raisonnement est logique, bien qu'aucune de ses propositions ne puisse être dite vraie, si l'on donne aux mots leur sens habi­ tuel.

C'est que «le fait que la conclusion est, ou n'est pas, consé­ quente aux prémisses (propositions initiales), ne dépend en rien de la véracité ou de la fausseté réelle de l'une quelconque des propositions; elle dépend totalement et uniquement de leur relation mutuelle.» (Op.

cit., 1896, trad.

fr., HERMANN, pp.

122-123.) LE SYLLOGISME Le syllogisme est le raisonnement par lequel, de deux proposi­ tions données (prémisses), on tire une conclusion qui en est la conséquence nécessaire.

Le raisonnement de Lewis Carroll, est une sorte de syllogisme. La théorie du fonctionnement du syllogisme proposée par Aris­ tote, c'est-à-dire la définition des règles qu'il doit respecter pour opérer une déduction valide, a longtemps été considérée comme une élaboration définitive de la logique.

Kant, à la fin du XVIII' siècle, l'estime encore parfaitement achevée.

On pense alors que la logique est distincte des mathématiques, qu'elle est «le vestibule des sciences» (Kant), y compris des sciences mathématiques, ou leur «grammaire». ■ Mais le traitement mathématique de la logique d'Aristote, tel que le pratique d'abord Boole au XIX' siècle, sa formalisa­ tion systématique, c'est-à-dire l'usage de symboles rigoureux et d'opérations inspirées par le raisonnement algébrique, conduisent peu à peu à découvrir que la théorie du syllogisme n'est qu'une partie de logiques beaucoup plus vastes et fécondes (l'algèbre des classes, la logique des relations). expression verbale, pour dégager les règles qui assurent leur v�lidité.

Mainte­ nant, (...) la logique a rompu le lien qui l'attachait aux logos.

A la limite, elle délaisse le logos-raison et même le logos-langage, pour ne plus s'intéresser qu'au logos-calcul.

Elle fait abstraction, non seulement de tout contenu empiri­ que, mais aussi du sens logique de ses symboles, pour ne s'occuper que de la manière de les combiner et de transformer ces combinaisons.» (R.

BI.ANCHÉ, Introduction à la Logique contemporaine, 1957, A.

Colin, pp.

18-19.) La logique, en se mathématisant, paraît ainsi s'écarter des struc­ tures du langage dont elle est historiquement et étymologique­ ment issue : «La logique est devenue inséparable des mathémati­ ques (...) avec lesquelles elle interfère selon des relations de plus en plus nombreuses.» (Piaget.) Inversement, les mathématiques se rapprochent de la logique au cours de leur développement, au point qu'il paraît difficile aujourd'hui de définir clairement leurs frontières.

On peut parler de «pensée logico-mathématique ». , NAISSANCE DES MATHÉMATIQUES On s'accorde à dire que les mathématiques sont nées en Grèce. Certes, d'autres civilisations, avant celle-ci, firent usage de mesu­ res ou de calculs, mais elles ne paraissent pas avoir inventé la démonstration mathématique. Les premières démonstrations de théorèmes géométriques (par Thalès, Pythagore, etc.) étaient indépendantes les unes des autres.

Euclide, au me siècle avant J.-C., unifia toutes ces décou­ vertes en les intégrant dans un système unique dont toutes les propositions (théorèmes) pouvaient être logiquement déduites de quelques proposition premières : ■ Des axiomes ou propositions tenues pour évidentes par elles­ mêmes (le tout est plus grand que la partie, par exemple). ■ Des postulats (littéralement des «demandes») non évidents mais nécessaires pour déduire certains théorèmes (par exemple le postulat des parallèles). LES MATHÉMATIQUES COMME SCIENCE Le caractère parfois peu rigoureux de certaines démonstrations, qui faisaient appel à d'autres «évidences» que celles posées ini­ tialement, et la présence de postulats (non évidents) ne met­ taient pas en cause la vérité des théorèmes.

En effet, les pro­ « A l'origine, la logique est une réflexion sur les opérations effectives de la priétés qu'ils énonçaient étaient considérées comme les proprié­ pensée.

Elle analyse nos raisonnements usuels, tels qu'ils se présentent dans leur tés d'être mathématiques, qui s'imposaient à l'esprit. QUESTIONS DE COURS Chez Platon, les déductions mathématiques donnent la connais­ sance de certains êtres intelligibles.

Le nombre par exemple est, au-delà des objets visibles, l'Idée que perçoit l'âme.

L'étude des mathématiques arrache aux apparences sensibles et aux illusions de la Caverne. Mais cette étude n'est pas la vraie science que cherche le philo­ sophe.

Les mathématiques tirent les conséquences de proposi­ tions de départ non démontrées.

Platon définit la méthode dia­ lectique comme une démarche qui, «bousculant les hypothèses, suit son chemin jusqu'au principe lui-même», l'an-hypothéti­ que, l'absolu dont toutes choses tirent leur ultime intelligibilité. (République, VII, 533c et 511b.) Les mathématiques classiques, de façon générale, sont hypothé­ tico-déductives.

Mais leurs déductions nous donnent (même si elle est incomplète) une certaine idée du réel, la connaissance de vérités immuables, intangibles, qui sont découvertes par notre esprit et qu'il n'est pas en son pouvoir de changer.

Les mathéma­ tiques sont des sciences (mathéma, en grec, signifie science), des connaissances conformes à leur objet. L'AXIOMATISATION DES MATHÉMATIQUES e L'apparition des géométries non euclidiennes au XIX siècle, est le résultat de tentatives de démonstrations.... »