Mathématiques et axiomatique • 1.,es géométries non euclidiennes Euclide a donné comme base à ses Éléments une constatation prise dans...

« Mathématiques et axiomatique • 1.,es géométries non euclidiennes Euclide a donné comme base à ses Éléments une constatation prise dans le réel, mais érigée en principe : « par un point, extérieur à une droite, on ne peut faire passer qu'une parallèle à cette droite».

Mais ceci ne se déroule que dans un plan.

Or, avec Lobatchevsky, on découvre une autre vérité mathématique.

Car il suppose d'abord qu'on puisse mener par un point donné plusieurs parallèles à une droite et malgré cette contradiction avec Euclide, nous déchiffrons une géométrie à la logique impeccable.

Plus nous approfon­ dissons cette connaissance, plus nous arrivons à l'évidence.

Euclide et Lobatchevsky sont désormais sans aucun rapport, mais les liéns logiques entre les deux se maintiennent. Si avec Poincaré, on imagine « un monde uniquement peuplé d'êtres dénués d'épaisseur», et si on suppose que ces « animaux imaginaires tout en restant dénués d'épaisseur aient la forme d'une figure sphérique et non d'une figure plane...

», on apprend alors· la géométrie de Riemann.

On y découvre des règles étranges.

Ainsi l'espace est sans limites, puisqu'avec une sphère on peut toujours continuer d'aller devant soi, et pourtant cet espace est fini.

Si on calcule des détails plus précis, nous obtenons alors que la somme des angles d'un triangle est égale à deux angles droits chez Euclide, inférieure à deux angles droits chez Lobatchevsky et supérieure à deux angles droits chez Riemann. • Problèmes de la vérité en fonction d'une axiomatique Kant a donné la réponse à ce problème.

« Dans mon esprit existe a priori le jugement synthétique.

Il s'impose à moi avec une telle évidence que je ne peux le contrarier ni inventer une proposition contraire.

» Puisque ces jugements synthétiques a priori sont incontestables pour Kant, les géométries non euclidiennes ne présentent aucune vraisemblance.

Dans la préface à la Critique de la Raison Pure, il affirme: « Nous ne pouvons connaÎtre a priori des choses que ce que nous y introduisons nous-mêmes.

» Et donc, les axiomes de la géométrie sont renvoyés aux sciences expérimentales et donc aux objets matériels.

Comment pourrait-on alors raisonner puisque le contenu même de l'expérimentation serait soumis à perpétuelle révision? Dans la Science et /'Hypothèse, H.

Poincaré propose une solution : « Les axiomes géométriques ne sont ni des jugements synthétiques a priori ni des faits expérimentaux.

Ce sont des conventions...

des définitions déguisées... Une.... »