Mathématiques Numération Les bases N'importe quel système de numération ayant pour base un entier différent de 1 permet le codage des nombres naturels.

Mathématiques Numération Les bases N'importe quel système de numération ayant pour base un entier différent de 1 permet le codage des nombres naturels. ? Tout nombre entier N est compris entre deux puissances consécutives (n et n+1) de 10 et peut s'écrire d'une manière unique sous la forme : N = an10n + an-1 10n-1 + ....+ a110 +a0 où tous les coefficient sont des nombres compris entre 0 et 9 (les chiffres) ? base 10 Ce chiffre s'écrit alors : anan-1...a1a0 ? N peut s'écrit sous une autre base - ex : N : abc6 , cela signifie que N se décompose dans la base 6 ? N = a*62 + b*6 + c où a, b et c sont des entiers (< à 6) ? Les nombres décimaux, nombres à virgule 1,21 (base 4) = 1 + 2/4 + 1/16 = 1,5625 (base 10) 1, 75 = 1 + 3/4 = 1,3 (base 4) Définition Dans un système de numération, si le nombre choisi pour base a des diviseurs autres que 2 et 5, les nombres à virgules qui ont des écritures finies sont distincts des nombres décimaux ; dans le cas contraire, les nombres engendrés sont des sous-ensembles de D. Définitions ? ? ? Nombre cardinal : qui exprime la quantité, le nombre, comme un, deux, trois, etc. Nombre ordinal : qui exprime le rang, l'ordre d'un élément au sein d'un ensemble (premier, deuxième, troisième, etc.) Polygone ou ligne polygonale : ligne brisée fermée, constituée par une succession de n segments (n >= 3) La numération écrite française Notre numération écrite est : o Une numération de base 10 o Une numération de positionnement (86 ?68) o Une numération utilisant le chiffre 0 pour noter l'absence. La divisibilité Par 2 : Si et seulement si le chiffre des unités est divisible par 2. Par 3 : Si la somme des chiffres est divisible par 3. Par 4 : Si et seulement si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4. Par 5 : Si et seulement si le chiffres des unités est 0 ou 5. 1 / 17 Par 6 : S'il est divisible par 2 et 3 Par 9 : Si la somme des chiffres est un multiple de 9. Si ce n'est pas le cas, la nouvelle somme de la 1ère somme est le reste de la division euclidienne du nombre initial par 9. ex : 237 ? 2 + 3 + 7 = 12 pas un multiple de 9 1 + 2 = 3 ? 3 est le reste de la division euclidienne de 237 par 9 273 = 26 x 9 + 3 Par 11 : Si (somme des chiffres rang impair) - (somme chiffres rang pair) = multiple de 11 =D Le chiffre des unités est un rang impair ex : 1529 ? (9 + 5) - (2 + 1) = 14 - 3 = 11 1529 = 11 x 139 donc 1529 est un multiple de 11 par contre : o Si 0 < D < 10 ? D = reste de la division euclidienne du nombre initial par 11. ex : 500 ? (0 + 5) - (0) = 5 ? non multiple de 11, donc 500 = 11 x 45 + 5 o Si D < 0 ? alors, trouver x un entier naturel non nul tel que : 0 < D + 11x < 10 ? D + 11x est le reste de la division euclidienne du nombre initial par 11. ex : 3275 ? (5 + 2 ) - (7 + 3) = 7 - 10 = -3 - 3 + 11 = 8 -? 8 est le reste de la division euclidienne de 3275 par 11 3275 = 11 x 297 + 8 Par 25 : Si et seulement si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 25. La preuve par 9 d'une multiplication Pour faire la preuve par 9 d'une multiplication, on multiplie entre eux les restes de la division euclidienne par 9 des deux facteurs et on compare au reste de la division euclidienne du résultat. ex : 353 x 3 + 5 + 3 = 11 (? multiple 9) 1 + 1 = 2 (reste de la division euclidienne) 248 2 + 4 + 8 = 14 1+4=5 = 87ab4 8+7+a+b+4 a+b+10 a+b+1 2 x 5 = 10 1+0=1 1 = a+b+1 (même système pour faire la preuve par 11 2 / 17 PPCM et PGCD PPCM PPCM (a,b) = c c est formé de l'ensemble des diviseurs premiers de a et de b affectés du plus grand exposant. ex : PPCM (24,18) = 72 car 24 = 23 x 3 et 18 = 2 x 32 donc PPCM (24,18) = 23 x 32 = 72 PGCD (24,18) = 2 x 3 = 6 Rappels de quelques règles de calcul Les puissances a ? R, n ? Z n fois => n>0 an = a x a x a x.....x a => n<0 an = 1 1 x a 1 x .... x a a ?n? fois an x ap = a n+p (an)p = a nxp an x bn = (a x b)n identités remarquables (a + b)² = a² + 2ab + b² (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc (a + b)3 = a3 + 3 a²b + 3 ab² + b3 (a - b)3 = a3 - 3 a²b + 3 ab² - b3 a² - b² = (a - b)(a + b) a3 - b3 = (a - b)(a² +ab + b²) a3 + b3 = (a + b) (a² - ab + b²) équation et inéquation ax + b = 0 => x = -b/a ax² + bx + c = 0 si ? < 0 si ? = 0 si ? > 0 (a ? 0) (a ? 0) => ? = b² - 4ac => pas de solution => x' = -b/(2a) => x' = (-b + ??) / (2a) => x'' = (-b - ??) / (2a) polynôme o ax + b a?0 -b/a Valeurs de x ax + b signe de -a signe de a 3 / 17 Si ? >= 0 : o ax² + bx + c a?0 x' Valeurs de x ax² + bx + c Si ? < 0 signe de a x'' signe de -a signe de a => du signe de a No...