,.. Primitives d'une fonction sur un intervalle L'essentiel du cours Définition • Soitf une fonction continue sur 1. On dit...
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Primitives d'une fonction
sur un intervalle
L'essentiel du cours
Définition
• Soitf une fonction continue sur 1.
On dit qu'une fonction F
est une primitive de la fonctionfsur ! lorsque Fest dérivable
sur I et que sa dérivée est égale àf sur cet intervalle.
• Lorsqu'une fo nction admet une primitive, on peut en
trouver une infinité.
En effet, si on ajoute n' importe quel nombre réel à la pri mitive
tro uvée, les dérivées des primitives ainsi obtenues donneront la même fonction,
car la« dérivée d'un nombre est nulle».
Exemple 1
Soient F(x) = x 2 ; G(x) = x' + 15 ; K(x) = x' - 1 ; ...
; W(x) = x ' + k avec k appartenant
à l'ensemble des réels.
Toutes ces fonctions sont dérivables sur l'ensemble des
réels.
Si l'on dérive toutes ces fonctions on obtient une seule fonction définie par
f(x) = 2x.
Ce sont toutes des primitives de la fonction f.
Exemple 2
On considè re la fonct ion g défi nie pour tout nombre rée l x par g(x) = x 3 .
La fonc4
tion G défi nie sur IR par G(x) = !:.._est une primitive de la fonction g car, pour tout
4
nombre réel x, G'(x) = ~ x 4x 3 = x 3 = g(x).
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Exemple 3
On considère la fonction h définie pour tout nombre réel x par h(x) = e4 '.
La fonction H définie sur IR par H(x) = ~e 4 x est une primitive de la fonction h car,
4
pour tout nombre rée l x, H'(x) =.:.
x 4e 4 ' = e4 x = h(x).
4
Calculer une primitive
• Une primitive lorsqu'elle existe est une fonction.
• Si F et G sont des primitives des fonctions f et g sur un intervalle 1, alors F + G
est une....
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