Probabilités conditionnelles L'essentiel du cours LE COURS À ÉCOUTER Définition d'une probab ilité conditionnelle ~~ Lecture d' un arbre •...
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Probabilités conditionnelles
L'essentiel du cours
LE COURS
À ÉCOUTER
Définition d'une probab ilité conditionnelle
~~
Lecture d' un arbre
• On considère une expérience aléatoire et
deux événements A et B quelconques de proba bili tés non nulles.
L'événement A est réalisé
puis l'événement B.
On peut visualiser la situation en utilisant un arbre pondéré.
• La probabilité de l'événement « 8 sachant
que l'événement A est réalisé », notée PA(B)
peut se calculer en utilisant un arbre.
En effet on
a : P(AnB)
P(A n B)
=P(A) x PA(B) donc PA(B) =~
-
~M
P,(B)
P(A)
A
B
1;:-8
S:, ~~
P;;.(B)
B
P(A
n 8)
P(A
n 8)
P(A
n 8)
P(A
n B)
• Par analogie, on en déduit que la probabilité
de l'événement« A sachant que l'événement 8 est réalisé» , notée P (A) sera :
8
P.
(A)= P(BnA).
8
P(B)
Propriétés
p (B) + p (B)
A
A
=1 .
P.
(A)= P(AnB) = P(A) x PA(B) .
'
P(B)
B
P(B)
Exemple
Dans une population lycéenne, 40 % des élèves aiment les mathématiques (si, c'est
possible !), 25 % aiment la physique et 10 % aiment à la fois les mathématiques
et la physique.
On prend un élève au hasard .
Quelle est la probabilité pour qu'il
aime la physique, sachant qu'il aime les mathématiques?
Soit A l'événement« l'élève aime les mathématiques» et 8 l ' événement« l'élève
aime la physique».
L'énoncé donne P(A) = 0,4; P(B) = 0,25 et P(AnB) = 0,1.
On cherche la probabilité pour que l'élève aime la physique sachant
qu' il aime les mathématiques, c'est-à-d ire la probabilité de 8 sachant A :
p (B)
A
=P(BnA) =0,1 = 0 25 _
P(A)
0,4
'
Formule des probabi lités tota les
Cas d'une partition élémentaire avec A et A.
Pour tout événement B, on a :
P(B) = P(A n B) + P(A n B) = PA(B) x P(A) + PA(B) x P(A).
Exercice résolu
Une usine de composants électriques dispose de deux unités de production, Aet B.
La production journalière de l'unité A est de 600 pièces, celle de l'unité Best de
900 pièces.
On prélève au hasard un composant de la production d'une journée.
La probabilité
qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par
l'unité Aest égale....
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