Raisonnement mathématique L'essentiel du cours Quantificateurs « Quel que soit » et « Il existe » • l'égalité (x +...
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Raisonnement mathématique
L'essentiel du cours
Quantificateurs
« Quel que soit » et « Il existe »
• l'égalité (x + 2)(x - 1) = x2 + x - 2 est vraie quel que soit le nombre réel x, c'est·
à-dire qu'en remplaçant x par n'importe quel nombre réel dans le membre de
gauche et dans le membre de droite, on obtient le même résultat.
Pour le prouver,
on développe le membre de gauche.
«Quelque soit» est un quantificateur universel.
• L'égalité x2 2X n'est pas vraie pour x 4, mais elle est vraie pour x 2.
On peut
donc affirmer qu'il existe un nombre réel x tel que l'égalité soit vraie.
« Il existe» est un quantificateur existentiel.
• Ces quantificateurs sont souvent sous-entendus dans le langage courant.
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« Condition nécessaire » et « condition suffisante »
• Dans la déduction « Si le quadrilatère est un rectangle alors il possède deux
angles droits», la proposition« il possède deux angles droits» (Q) est une condi·
tion nécessaire pour la proposition« le quadrilatère est un rectangle ».
• Elle n'est pas suffisante car un quadrilatère qui a deux angles droits peut être
seulement un trapèze rectangle.
Pour que la condition soit suffisante il faut, par
exemple, la proposition« il possède quatre angles droits».
« Proposition réciproque » et « contraposée »
• La proposition« Si ABC est un triangle rectangle en A alors BC 2 = AB 2 + AC 2 »
permet de calculer la mesure d'un côté d'un triangle rectangle connaissant la
mesure des deux autres.
• Sa réciproque« Si BC 2 = AB 2 + AC 2 alors ABC est un triangle rectangle en A»
fournit un outil pour prouver qu'un triangle est rectangle.
• Sa contraposée « Si BC 2 t AB 2 + AC 2 alors ABC n'est pas un triangle rectangle
en A» permet d'établir, par un calcul, qu'un triangle n'est pas rectangle.
• L'énoncé réciproque de la propriété « Si P alors Q » est « Si Q alors P ».
Sa
contraposée est« Si non Q alors non P ».
• Lorsque l'énoncé direct et l'énoncé réciproque sont vrais, on dit que les propo·
sitions sont équivalentes.
Infirmer une propriété
à l'aide d'un contre-exemple
• L'énoncé« Pour entier naturel n on a (n + 2) 2 = n2 + 4 » est faux.
On peut le
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prouver en remplaçant n par....
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