"'roi uniforme sur un intervalle [a; b] LE COURS À ÉCOUTER L' essentiel du cours Loi continue : cos général...

« "'roi uniforme sur un intervalle [a; b] LE COURS À ÉCOUTER L' essentiel du cours Loi continue : cos général Définition • La fonction/ est une fonction de densité sur l'intervalle [a; b] (a< b) si: - la fonction/ est continue sur [a; b]; - la fonction/ est positive sur [a ; b]; -f f (x)dx = 1. r • Si la variable aléatoire X suit la loi continue de fonction de densité/, alors pour tout intervalle [c; d) c [a; b], on a: P(c < X < d)= f(x)dx . Remarques • On a P(c< X< d) =P(c ,;; X< d) =P(c< x,;; d) =P(c,;; X,;; d). • Pour certaines lois continues, a peut être égal à - oo et b égal à + oo. Espérance d'une loi continue Soit X une variable aléatoire de fonction de densité/ sur l' intervalle [a; b]. L'espérance mathématique de X est E(X) = r x f(x)dx . Loi uniforme sur un intervalle [a; b] Définition Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a ; b] lorsqu'elle admet comme fonction de densité la fonction/ définie par f(x) = - f(x) = O en dehors de l'intervalle [a; b]. 1 - sur l'intervalle [a; b] et b-a La représentation graphique d'une fonction/ ainsi définie est une droite parallèle à l'axe des abscisses. Propriété Si la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a; b] (a< b), pour tout intervalle d-c [c; d] c [a; b] on a: P(c ,;;x,;; d) = - -. b-a Espérance de la loi uniforme Si la va ri able aléatoire X suit une loi uniforme su r [a; b] alors : E(X) = b f a x a+b - dx = . b- a 2 Exercices résolus Exercice 1 On considère la fonction! définie sur l'intervalle [o; 1] par f(x) = 2x. La fonction! définit-elle une fonction de densité.... »