'T Valeur moyenne d'une fonction L'essentiel du cours • La valeur moye nne d'une fonction f sur un intervalle [a...
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'T Valeur moyenne
d'une fonction
L'essentiel du cours
• La valeur moye nne d'une fonction f sur un intervalle
[a ; b] est égale au réel :µ= -
1
-J
b- a
b f(x)dx.
o
Exemples
• Soit la fo nction f: x .....,.
e" défin ie et continue sur IR.
La valeur moyenne de f sur l' intervalle [o ; 2] est
µ = _ 1_ f 2e2x dx = ~[~e2• ] 2 = ~ (e• - eo) = e• - 1_
2- 0 0
2 2
0
4
4
• Soit la fonctio n g : x ,....
3x 2 + 2X définie et continue su r R La valeur moyenne
de g sur l'intervalle (-1 ; 1] est:
µ'
= -1-
1 - (- 1)
J (3X
1
-1
2
+ 2x)dx = -1 [ X3 + X2 ] l = -1 (1 + 1- (- 1 + 1)) = 1.
2
-1
2
Exercices résolus
Exercice 1
Déterminer la valeur moyenne de la fonction f définie par f(x) = (2x + 3Je•'• 3• - 1
sur (1 ; 3].
On pourra poser u(x) = x 2 + 3x - 1 sur l'intervalle (1 ; 3] et calculer u'(x).
Corrigé
On remarque que la fonction! est du type u' • e".
En posant u(x) = x' + 3x - 1 pour tout nombre
réelx, la dérivée est alors défi nie par u'(x) = 2x + 3.
Une primitive defsera de la forme e".
la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle (1 ; 3] est égale à :
µ = -l -
J 2x
b(
3- 1 o
+ 3)e,, • 3x - 1 d x= -l [ ex' • 3x -
2
1
J3 =-l (e3' • 3 • 3 1
2
1
- e 1 '+3xi -
7
1)
3
e' - e.
=2
Exercice 2
Soitfla fonction définie, pour tout nombre réelx, par f (x) = - o,0032x 3 + o,o6x 2 + 5.
rour tout entier n vérifünt o < n < 20, on décide de modéliser la dépense des
ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d'euros, au
cours de l'année n par le nombrej(n) .....
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