Texte complémentaire Les premiers résultats sur les nombres entiers ont été obtenus parce que les mathé­ maticiens avaient à leur...

« Texte complémentaire Les premiers résultats sur les nombres entiers ont été obtenus parce que les mathé­ maticiens avaient à leur disposition un outil concret : la représentation des entiers par des cailloux (on sait que c'est le mot latin calculus, qui signifie caillou, qui a donné notre mot calcul). Un effort d'imagination, un véritable calcul mental a permis ensuite de passer des cailloux réels à des cailloux imaginés, réduits à leurs plus simples expressions, c'est-à-dire pratiquement à des points.

Ces points, à leur tour, ont été représentés par des points dessinés réellement, mais, et ceci est un apport proprement humain, ils étaient régulièrement espacés et disposés, soit en ligne droite, soit en figure simple, pour être plus faciles à reconnaitre, à la façon des points sur les dés à jouer.

La relation de la science des nombres et de la géométrie était née et chacune allait aider l'autre, [ ...

] Dans la figure de points, on pressent la figure géométrique et les Grecs ne se sont pas privés d'appeler certains nombres carrés, rectangulaires, triangulaires, suivant la figure qu'on pouvait former avec eux.

Pour passer de l'une à l'autre, il a suffi d'attribuer à chaque point un espace vital et de considérer la figure de points comme une figure dotée d'une surface.

L'aire de cette surface est le nombre de points lors­ qu'on prend pour unité de surface l'espace attribué à chaque point, lorsque ces espaces sont jointifs et ne laissent pas de vide entre eux. On imagine facilement que les espaces élémentaires attribués à chaque point ne peuvent être utilement que des carrés, sinon cela conduirait à d'autres problèmes particulièrement coriaces, et un complexe arithmétique-géométrique se trouve réalisé sous le signe du calcul des aires. La plupart des fameuses identités remarquables peuvent se démontrer ainsi.[...] De même on peut faire correspondre un nombre à tout point d'une demi-droite. La géométrie élémentaire (théorème de Thalès} permet de diviser un segment en autant de segments égaux que l'on veut.

Nous pouvons donc construire, avec la règle et le compas, les seuls instruments que les Grecs se permettaient de manier, un segment de longueur 1/2, 1/5 ou 1/273 unité, et il est immédiat que l'on peut associer, à toute fraction, un segment.

Si tous ces segments ont O pour origine, nous avons ainsi la possibilité de compléter les intervalles que les points d'abscisse entière laissaient sur notre règle... On peut ainsi parler de longueur d'un segment, d'abscisse d'un point: bref, de relier algèbre et géométrie.

Tout problème strictement algébrique, par exemple résoudre une équation du deuxième degré, peut être transformé en un problème de géométrie consistant à chercher les points de rencontre d'un cercle et d'une droite dont la position relative est fixée par les coefficients de l'équation.

On aboutit ainsi à une construction géométrique permettant de situer les points de rencontre, s'ils e�tent, et dont les abscisses sur la droite sont les racines de l'équation proposée. N'oublions pas que rien n'est plus difficile à saisir qu'un concept abstrait.

Il faut un support matériel pour que l'esprit puisse s'appuyer sur l'intuition d'abord et raisonner ensuite.

L'étude des figures avait pris un bon départ; le savant grec savait manier les droites et le cercle avec beaucoup d'habileté, mais non les nombres.

[...

] Les Grecs maniaient, séduits par leur simplicité (trompeuse), les nombres entiers représentables concrètement.

Tout était simple en effet : géométrie et arithmétique pouvaient être considérées comme deux panneaux symétriques d'une mêma science. André Waruafel: Les Nombres el Jeurs myBlères l::ditions du Seuil COMPRÉHENSION DU TEXTE Étude de la première partie : l.

Informez-vous sur le « culte des nombres» chez les Grecs et en particulier sur des mouvements également attachés aux croyances religieuses et aux connaissances mathématiques comme l'orphisme et le pythagorisme. 2.

Comment justifiez-vous cette opinion « l'arithmétique usuelle est plutôt une recette qu'une science »? 3.

Comment peut-on affirmer que la géométrie est plus progressive et plus logique que l'arithmétique? 4.

Pensez-vous que le goût de la démonstration rigoureuse et de l'idée pure soit la seule raison de l'indifférence des Grecs à l'égard des applications pratiques du savoir mathématique? 5.

Selon ce texte, quels sont les qualités et les défauts.... »