Correspondance de Galois

I. El Hage www.les-mathematiques.net 1 Les correspondances de Galois 1 Groupe de Galois Soit E une extension normale finie d’un corps K. L’ensemble des K-automorphismes de E forment un groupe pour la composition d’application. Définition Soit E une extension normale finie d’un corps K. Le groupe de tous les K-automorphismes de E sera appelé le groupe de Galois de l’extension E de K. Le groupe de Galois d’une extension E de K sera noté G 􏰀 E 􏰁 K 􏰂 . Exemple 􏰃 est une extension normale finie de 􏰄 . Son groupe de Galois possède deux éléments : l’identité et le 􏰄 -automorphisme σ qui associe à chaque nombre com- plexe z son conjugué z. Théorème Soit E une extension normale finie d’un corps K. G 􏰀 E 􏰁 K 􏰂 est un groupe fini dont l’ordre est le degré galoisien 􏰅 E : K 􏰆 de l’extension. Démonstration G 􏰀 E 􏰁 K 􏰂 est l’ensemble I de tous les K-isomorphismes de E dans une clôture normale de E . Or E est sa propre clôture normale car elle est une extension normale de K. D’où G 􏰀 E 􏰁 K 􏰂􏰈􏰇 I . Corollaire Soit E une extension normale finie d’un corps K. Ord 􏰀 G 􏰀 E 􏰁 K 􏰂􏰉􏰂􏰋􏰊 􏰅 E : K 􏰆 . 2 Les correspondance de Galois Soit E une extension finie de K. Définition L’extension finie E de K sera dite une extension galoisienne si, et seulement si, E est une extension normale et séparable de K. Exemple 􏰃 est une extension galoisienne de 􏰄 . Théorème Si E est une extension galoisienne de K, alors Ord 􏰀 G 􏰀 E 􏰁 K 􏰂􏰌􏰂􏰈􏰇􏰍􏰅 E : K 􏰆􏰏􏰎 Démonstration Nous avons Ord 􏰀 G 􏰀 E 􏰁 K 􏰂􏰐􏰂􏰈􏰇􏰅 E : K 􏰆􏰑􏰇􏰒􏰅 E : K 􏰆 .