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Correction Bac, série S Commun à tous les candidats juin 2011 Exercice no 1 4 points Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus. PARTIE A On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes : o La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0, 99 (sensibilité du test). o La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de 0, 97 (spécificité du test). On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note V l'événement « la personne est contaminée par le virus « et T l'événement « le test est positif «. V et T désignent respectivement les événements contraires de V et T. 1. a) Valeurs des probabilités : p (V) = 0, 02, p V (T) = 0, 99 et p V (T) = 0, 97. Arbre de probabilité. 0, 99 T 0, 01 T 0, 03 T 0, 97 T V 0, 02 0, 98 V b) Probabilité de l'événement V ? T : p (V ? T) = p V (T) × p (V) = 0, 99 × 0, 02 = 0, 0198 2. Probabilité que le test soit positif est : p (T) = p (V ? T) + p (V ? T) = p V (T) × p (V) + p V (T) × p (V) = 0, 99 × 0, 02 + 0, 03 × 0, 98 = 0, 0492 1 3. a) « Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40% de « chances « que la personne soit contaminée «correspond à la probabilité p T (V) 0, 40. Vérifions : p T (V) = p (V ? T) 0, 0198 = p (T) 0, 0492 0, 40243902439 0, 40 b) Probabilité p T (V) qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif. p T (V) = p (T ? V) p (T) = p V (T) × p (V) p (T) = p V (T) × p (V) 1 - p (T) = 0, 97 × 0, 98 1 - 0, 0492 0, 9998 PARTIE B On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. 1. X suit une loi binomiale car o Il n'y a que deux issues : soit V, soit V ; o les tirages sont indépendants ; o p = 0, 02 o n = 10 2. Probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10 : p (X 2) = 1 - p (X = 0) - p (X = 1) = 1 - 0 1 0, 020 × 0, 9810 - 0, 021 × 0, 989 10 10 Exercice no 2 0, 016 4 points Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O ; u ; v ). On désigne par A, B, C, D les points d'affixes respectives z A = 1, z B = i, z C = -1, z C = -i. ? 1. Affixe de l'image E du point D par la rotation de centre A et d'angle : 3 Écriture de la rotation : ? ? z - z A = ei 3 (z - z A ) <==> z = ei 3 (z - z A ) + z A = 3 1 (z - 1) + 1 +i 2 2 L'affixe de E est donc : zE = 1 3 1 31 3 1+ 3 +i (-i - 1) + 1 = - i + - -i +1 = (1 - i) 2 2 2 2 2 2 2 2. L'ensemble des points M d'affixe z telle que z + i = z - 1 vérifie : z + i = z - 1 <==> MD = MA <==> M ? médiatrice de [AD] : Or, d'après la configuration donnée, c'est aussi la médiatrice du segment [BC]. 2 3. L'ensemble des points d'affixe z telle que z +i ?i z +1 C <==> arg z +i soit un imaginaire pur vérifie : z +1 Z z +i ? --> --> -- = MC; MD = +k ? (k ? ) <==> M ? (cercle de diamètre [CD] - {C}) z +1 2 4. L'ensemble des points d'affixe z telle que arg(z - i ) = - ? + 2k ? où k ? 2 Z vérifie : Z ? - - --> arg(z - i) = ->; BM = - + 2k ? (k ? ) <==> M ? ]BD) u 2 Exercice no 3 7 points Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par f n la fonction définie sur R par : f n ( x ) = x n e- x . On note C n sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; ? ; ? ) du plan. PARTIE A Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe C k où k est un entier naturel non nul, sa tangente Tk au point d'abscisse 1 et la courbe C 3 · 4 La droite Tk coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées ;0 . 5 y Ck Tk ? ? x A C3 3 1. a) Limites de la fonction f 1 en -? et en +? : 1 1 = -?, car lim x = -? et lim x = +? x x ->-? x ->-? e e x ex lim f 1 (x ) = lim x = 0, car lim = +? x ->+? x ->+? e x ->+? x lim f 1 (x ) = lim x × x ->-? x ->-? b) Variations de la fonction f 1 : f 1 (x ) = ex - x ex 1 - x = x a même signe que 1 - x e2 x e Tableau de variations de f 1 : x -? +? 1 f (x ) + - 0 1 e f (x ) 0 -? c) Sur le graphique, la courbe C k est située au dessus de l'axe des abscisses. Donc pour x compris entre -1 et 0, f k (x ) 0, ce qui ne peut arriver que si k est pair non nul (d'après l'énoncé). Ainsi, k est supérieur ou égal à 2. 2. 1, toutes les courbes C n passent par le point O car f n (0) = 0 et un autre point A 1 de coordonnées 1 ; , car e a) Pour n N*, f k (1) = 11 = 1 e e n ?n , n ? b) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, et pour tout réel x , la dérivée de f n (x ) est : f n (x ) = nx n -1 e-x - x n e-x = x n -1 (n - x )e-x . 3. Maximum de f 3 (x ) : o Dérivée de f 3 (x ) : f 3 (x ) = x 3-1 (3 - x )e-x = x 2 (3 - x )e-x a même signe que 3 - x o Tableau de variations de f 3 : x -? f (x ) +? 3 + 0 - 27 e3 f (x ) 0 -? 4 f 3 possède donc un maximum pour x = 3, et c'est le seul. 4. a) La droite Tk coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées k -2 ;0 : k -1 o Équation de la tangente au point d'abscisse 1 : x 1 f (x ) 1 e k -1 e f (x ) ==> y - 1 k -1 k -1 2-k = x+ (x - 1) <==> y = e e e e o Intersection avec l'axe des abscisses : k -1 2-k k -1 k -2 k -2 x+ = 0 <==> x= <==> x = e e e e k -1 Ainsi, la droite Tk coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées b) Comme l'énoncé nous dit que les coordonnées de A sont k -2 ;0 . k -1 4 ; 0 , on a : 5 4 k -2 = <==> 4k - 4 = 5k - 10 <==> k = 6 5 k -1 PARTIE B On désigne par (In ) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par 1 In = x n e- x d x . 0 1. Calcul de I1 : 1 I1 = 0 x e- x d x = 1 0 ? ? u (x ) = x u (x )v (x ) dx avec ? v ( x ) = e- x ? ? u (x ) = 1 Alors : ? v (x ) = -e-x u et v sont dérivables, donc u et v sont continues. On peut effectuer une intégration par parties : I1 = [u (x )v (x )]1 - 0 1 0 u ( x ) v ( x ) d x = - x e- x 1 0+ 1 0 1 e-x dx = - + -e-x e 1 0 11 2 = - - +1 = 1- ee e 2. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes C 1 , C 2 , C 3 , C 10 , C 20 , C 30 comprises dans la bande définie par 0 x 1. 5 y 0,5 C2 C3 C1 C 30 C 20 C 10 0 0 x 1 a) Conjecture sur le sens de variation de la suite (In ) en décrivant sa démarche : In représente l'aire comprise entre la courbe C n , les deux axes et la droite d'équation x = 1, car 0 < 1 et ?x , x ? [0 ; 1], x n e-x 0. La figure nous suggère donc que la suite In est décroissante. b) Démontration de cette conjecture. Pour tout n entier naturel non nul : 1 In +1 - In = 0 1 x n +1 e-x dx - 0 1 x n e- x d x = 0 (x n +1 - x n )e-x dx = 1 0 x n (x - 1)e-x dx Or, comme x est compris entre 0 et 1, x n 0, x - 1 0 et e-x > 0. De plus, 0 est en bas, 1 est en haut, donc In +1 - In 0 et la suite In est décroissante. c) La suite (In ) est convergente, car la suite In est décroissante et minorée par 0. (In x n e-x sur [0 ; 1]). d) 0 car lim (In ) : n ->+? 0 x 1 <==> 1 ex e <==> Ainsi : 1 x n +1 e n +1 1 e e- x 1 In 0 On a : lim 1 ==> x n +1 n +1 1 n ->+? e(n + 1) xn e x n e- x 1 <==> 0 = lim x n ==> 1 e(n + 1) 1 n ->+? n + 1 In 1 0 xn dx e 1 In x n dx 0 1 n +1 =0 D'après le théorème des gendarmes, nous pouvons affirmer que la limite de In est 0 quand n tend vers +?. 6 Exercice no 4 5 points L'espace est muni d'un repère orthonormal (O ; ? ; ? ; k ). Partie A - Restitution organisée de connaissances On désigne par P le plan d'équation ax + b y + c z + d = 0 et par M0 le point de coordonnées x 0 ; y 0 ; z 0 . On appelle H le projeté orthogonal du point M0 sur le plan P . On suppose connue la propriété suivante : Propriété : Le vecteur n = a ? + b ? + c k est un vecteur normal au plan P . Le but de cette partie est de démontrer que la distance d (M0 , P ) du point M0 au plan P , c'est-àdire la distance M0 H, est telle que d (M0 , P ) = a x0 + b y 0 + c z0 + d a2 + b2 + c 2 . --> - -- 1. Calcul de -> · M0 H : n - --> - --> -> · - -H = -> × - -H × cos ->; - -H = -> × - -H - M-> - - M-> - n n M0 n n M0 0 0 --> - -- car cos ->; M0 H = 1 (les vecteurs sont colinéaires) n Or : -- --> - M0 H = M0 H et -> = n Donc : - -> · - -H = M H - M-> n 0 0 a2 + b2 + c 2 a2 + b2 + c 2 2. Le point H appartient au plan P , ses coordonnées (x ; y ; z ) vérifient donc ax + b y + c z + d = 0. ? ? x - x0 ? ? -- --> Le vecteur M0 H a donc pour coordonnées ? y - y 0 ?. ? ? z - z0 Ainsi : - -> · - -H = a (x - x ) + b ( y - y ) + c (z - z ) = ax + b y + c z + d -ax - b y - c z - d - M-> n 0 0 0 0 0 0 0 =0 3. Conclusion : M0 H a 2 + b 2 + c 2 = -ax 0 - b y 0 - c z 0 - d <==> M0 H = a x0 + b y 0 + c z0 + d a2 + b2 + c 2 Partie B On désigne par A, B, C, F les points de coordonnées respectives (4 ; 1 ; 5), (-3 ; 2 ; 0), (1 ; 3 ; 6), (-7 ; 0 ; 4). 7 1. - ->- -> a) Les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires. En effet : ? ? ? ? -7 -3 ? ? -? -> -? -> AB ? 1 ? ; AC ? 2 ? (nombre impair de signes -) ? ? ? ? -5 1 Soit le plan d'équation x + 2 y - z - 1 = 0. o A appartient à ce plan, car 4 + 2 × 1 - 5 - 1 = 0 ; o B appartient à ce plan, car -3 + 2 × 2 - 0 - 1 = 0 ; o C appartient à ce plan, car 1 + 2 × 3 - 6 - 1 = 0. Donc le plan (ABC) a pour équation x + 2 y - z - 1 = 0. b) Distance d du point F au plan P : d= -7 + 2 × 0 - 4 - 1 12 + 22 + 12 = 12 6 =2 6 2. On appelle ? la droite qui passe par le point F et qui est perpendiculaire au plan P . a) Une représentation paramétrique de la droite ? : ? ? - un vecteur normal au plan -> a pour coordonnées : ? n ? M ? (?) <==> ?k , k ? 1 ? ? 2? ? -1 ? ? x = -7 + k ? ? - - R, --> = k .-> <==> ?k , k ? R, ? FM n ? ? y = 0 + 2k z = 4-k b) Coordonnées du point H, projeté orthogonal du point F sur le plan P : H ? (?) ? P <==> (-7 + k ) + 2(2k ) - (4 - k ) - 1 = 0 <==> k = 2 ? ?? ? -5 -7 + 2 ? ?? ? Les coordonnées de H sont donc : ? 2 × 2 ? = ? 4 ? ? ?? ? 4-2 2 c) Distance de H au plan ? : d (H, ?) = FH = (-5 + 7)2 + (4 - 0)2 + (2 - 4)2 = 24 = 2 6 3. Soit S la sphère de centre F et de rayon 6. a) B appartient à la sphère S car : BF = (-3 + 7)2 + (0 - 2)2 + (4 - 0)2 = 16 + 4 + 16 = 36 = 6 b) Centre et rayon du cercle C , intersection de la sphère S et du plan P : Le cercle et le plan ont une intersection non vide car B appartient à la fois à S et à P . Le centre du cercle C est le projeté orthogonal de F sur le plan, c'est-à-dire H. Le rayon r du cercle C vérifie r 2 + FH2 = 62 <==> r 2 = 36 - 24 = 12. Ainsi r = 8 12 = 2 3