les suites

Séquence 5-MA40 153 > Suites numériques Séquence 5-MA40 155 Chapitre 1 > Pour débuter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 A Introduction B Activité 1 Analyse de l’évolution de cinq populations de bactéries C Activité 2 Un conte (et compte) oriental Chapitre 2 > Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 A Suites de nombres. Notations B Suites arithmétiques C Suites géométriques D Utilisation d’un tableur pour calculer les termes d’une suite Chapitre 3 > Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Chapitre 4 > Auto-évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 A QCM B Vrai-Faux Chapitre 5 > Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Séquence 5-MA40 157 Pour débuter A Introduction Très souvent en biologie, en démographie, en économie et dans pas mal d’autres domaines on observe des résultats chronologiques (journaliers, mensuels, annuels, … etc.) qui nous donnent des listes (ou suites) de nombres. C’est à ces suites de nombres que nous allons nous intéresser, pour établir un vocabulaire et des notations adéquates, et pour repérer deux types de situations particulièrement fréquentes et intéressantes à étudier. B Analyse de l’évolution de cinq populations de bactéries Nous allons essayer d’analyser l’évolution de cinq populations de bactéries différentes sur les dix premiers jours de leur culture. Le tableau suivant indique le nombre de bactéries (en milliers) présentes dans leur boîte de culture chaque jour à 12 heures. Les valeurs sont indiquées avec quatre chiffres après la virgule, mais certaines ont été arrondies. Bactéries Jours A B C D E Lundi 10,0000 3,0000 5,0000 10,0000 20,0000 Mardi 10,0500 3,0200 4,6500 9,9700 22,0000 Mercredi 10,0700 3,0400 4,3245 9,9400 24,2000 Jeudi 10,0800 3,0600 4,0218 9,9100 26,6200 Vendredi 10,0400 3,0800 3,7403 9,8800 29,2820 Samedi 10,0900 3,1000 3,4784 9,8500 32,2102 Dimanche 10,0500 3,1200 3,2350 9,8200 35,4312 Lundi 10,0800 3,1400 3,0085 9,7900 38,9743 Mardi 10,1100 3,1600 2,7979 9,7600 42,8718 Mercredi 10,0500 3,1800 2,6021 9,7300 47,1590 On remarque facilement que les populations B et E augmentent constamment, alors que les populations C et D sont en baisse constante. Quant à la population A, elle change plusieurs fois de sens de variation (elle est d’abord croissante, puis décroissante, … etc.). Activité 1 Données numériques 158 Séquence 5-MA40 Nous pouvons également représenter graphiquement l’évolution de ces populations. Par exemple pour la population A on peut avoir : ou : Remarquons deux choses sur ces représentations. Sur le premier graphique, on a relié les points par des segments de droite ; ces segments ne représentent rien, puisqu’on ne sait pas comment la population a évolué entre deux points consécutifs. Ils servent juste à mieux voir l’évolution globale de cette population. Sur le deuxième graphique, on a remplacé le nom (ou l’initiale) de chaque jour par son numéro par ordre chronologique. C’est une pratique assez courante, qui favorise le repérage et évite certaines ambiguïtés (par exemple, si l’on observe sur plus de sept jours, on aura plusieurs lundis). Représentons de la même façon l’évolution des populations B, C, D, et E. Population B Population C Population D Population E Il semble que les points soient alignés dans les quatre cas, mais si l’on relie les deux points extrêmes de chaque graphique par un segment de droite, la première impression semble fausse pour les populations C et E. Voyons par le calcul ce qu’il en est. Représentations graphiques 9,98 10,00 10,02 10,04 10,06 10,08 10,10 10,12 Lu Ma Me Je Ve Sa Di Lu Ma Me 9,98 10,00 10,02 10,04 10,06 10,08 10,10 10,12 0 2 4 6 8 10 12 2,95 3,00 3,05 3,10 3,15 3,20 0 2 4 6 8 10 12 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 0 2 4 6 8 10 12 9,6 9,7 9,8 9,9 10,0 0 2 4 6 8 10 12 20 25 30 35 40 45 50 0 2 4 6 8 10 12 Séquence 5-MA40 159 Variation entre 2 valeurs successives Pour chaque population (sauf A dont les variations sont trop désordonnées) calculons les variations entre deux valeurs successives. 26,62 – 24,20 Jours B Variations B C Variations C D Variations D E Variations E 1 3,0000 5,0000 10,0000 20,0000 2 3,0200 0,0200 4,6500 - 0,3500 9,9700 - 0,0300 22,0000 2,0000 3 3,0400 0,0200 4,3245 - 0,3255 9,9400 - 0,0300 24,2000 2,2000 4 3,0600 0,0200 4,0218 - 0,3027 9,9100 - 0,0300 26,6200 2,4200 5 3,0800 0,0200 3,7403 - 0,2815 9,8800 - 0,0300 29,2820 2,6620 6 3,1000 0,0200 3,4784 - 0,2618 9,8500 - 0,0300 32,2102 2,9282 7 3,1200 0,0200 3,2350 - 0,2435 9,8200 - 0,0300 35,4312 3,2210 8 3,1400 0,0200 3,0085 - 0,2264 9,7900 - 0,0300 38,9743 3,5431 9 3,1600 0,0200 2,7979 - 0,2106 9,7600 - 0,0300 42,8718 3,8974 10 3,1800 0,0200 2,6021 - 0,1959 9,7300 - 0,0300 47,1590 4,2872 On remarque tout de suite que les variations sont positives pour les populations B et E, et négatives pour les deux autres. Cela confirme que B et E augmentent constamment, alors que C et D baissent. On peut également voir que ces variations sont constantes pour la population B (+ 0,02 chaque jour) et pour la population D (- 0,03 chaque jour). Ce n’est pas le cas pour les deux autres. Puisque, sur les graphiques, les abscisses des points augmentent d’une unité chaque jour, le fait que les ordonnées augmentent (ou diminuent) d’une valeur constante chaque jour suffit à prouver que les points sont sur une droite (voir cours de seconde). C’est donc bien le cas pour les populations B et D. Ce calcul confirme aussi, par la négative, que les points des graphiques représentant les populations C et E ne sont pas alignés. Mais ils semblent quand même suivre une « courbe régulière «. Voyons, par un autre calcul, qu’il y a effectivement une « régularité « pour les populations C et E. Variation relative entre 2 valeurs successives Pour les populations C et E calculons les variations relatives entre deux valeurs successives, c’est à dire le rapport entre la variation déjà calculée (on parle alors de variation absolue) et la première des deux valeurs. C’est en fait le taux d’évolution, tel qu’on l’a défini à la séquence 1. C Variations C taux d’év. E Variations E taux d’év. 5,0000 20,0000 4,6500 - 0,3500 - 0,07000 22,0000 2,0000 0,10000 4,3245 - 0,3255 - 0,07000 24,2000 2,2000 0,10000 4,0218 - 0,3027 - 0,07000 26,6200 2,4200 0,10000 3,7403 - 0,2815 - 0,07000 29,2820 2,6620 0,10000 3,4784 - 0,2618 - 0,07000 32,2102 2,9282 0,10000 3,2350 - 0,2435 - 0,07000 35,4312 3,2210 0,10000 3,0085 - 0,2264 - 0,07000 38,9743 3,5431 0,10000 2,7979 - 0,2106 - 0,07000 42,8718 3,8974 0,10000 2,6021 - 0,1959 - 0,07000 47,1590 4,2872 0,10000 2 9282 29 2820 , , 160 Séquence 5-MA40 On constate immédiatement une « régularité «, puisque ces variations relatives sont constantes. En réalité elles ne le sont pas tout à fait, on pourrait s’en rendre compte en prenant une décimale de plus, et vous pouvez le constater vous-même en faisant les calculs à la calculatrice. Mais cela est dû au fait qu’on avait arrondi certaines valeurs dans le tableau initial. Si l’on avait donné les valeurs exactes, on aurait des variations relatives rigoureusement constantes. Pour les populations B et D les variations relatives entre deux valeurs successives ne sont pas constantes. On peut bien sûr le vérifier en faisant le calcul, mais c’est inutile, car on sait à l’avance que l’on aura à diviser des valeurs constantes (les variations absolues) par des valeurs variables (les valeurs successives de la population). On aura nécessairement des résultats non constants. Dans cette séquence, nous nous intéresserons principalement à ces deux catégories de suites de nombres : celles dont les variations absolues entre deux nombres successifs sont constantes, celles dont les variations relatives entre deux nombres successifs sont constantes. C Un conte (et compte) oriental Il était une fois … il y a bien longtemps, dans un lointain pays d’Orient, un Empereur (ou un Calife, c’est selon) qui voulait récompenser ses deux plus fidèles serviteurs : son général en chef qui revenait vainqueur de sa dernière campagne militaire, et son conseiller culturel qui venait de lui présenter un nouveau jeu, les échecs. – « Vous qui venez de me présenter un jeu que vous prétendez subtil, montrez-moi votre subtilité en m’indiquant, sur votre échiquier, comment je peux vous récompenser «. – « C’est simple, répondit modestement le conseiller, mettez un grain de blé sur la première case de l’échiquier, deux grains sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en doublant le nombre de grains à chaque case. Je me contenterai de ramasser les grains de l’échiquier «. Ravi de la modestie de cette demande, l’Empereur (ou Calife) se tourna vers son général en chef. – « Et vous, général, comment utiliseriez-vous cet échiquier pour votre récompense ? « – « Par respect pour votre conseiller, je vous demanderais aussi un grain de blé sur la première case, mais ensuite mon tempérament m’impose plus de brutalité. Mettez mille et un grains sur la deuxième case, deux mille et un grains sur la troisième et ainsi de suite en ajoutant mille grains à chaque case. Je me satisferai des grains sur l’échiquier. « – « Je n’en attendais pas moins de vous « conclut l’Empereur (ou Calife). Mais il prit vite conscience, en satisfaisant les demandes, que la subtilité de son conseiller était aussi d’une redoutable efficacité. Voyons, en effectuant les calculs, pourquoi le conseiller était particulièrement subtil. Complétez le tableau suivant qui donne le nombre de grains de blé sur les huit premières cases. Case n° Général en chef Conseiller 1 1 1 2 1 001 2 3 2 001 4 4 5 6 7 8 Pour l’instant il ne semble pas que le général ait pris une mauvaise option.  Remarque Commentaire Activité 2 Comptes Séquence 5-MA40 161 Continuons avec les huit cases de la deuxième ligne de l’échiquier. Complétez le tableau suivant. Case n° Général en chef Conseiller 9 8 001 256 10 11 12 13 14 15 16 15 001 32 768 Là, on commence à voir la subtilité du conseiller, puisqu’à la 15ème case, il obtient légèrement plus de grains que le général, et qu’à la suivante il en a le double. On se doute que les choses ne vont qu’aller dans le même sens, et de façon impressionnante puisqu’ à la fin de la ligne suivante, sur la 24ème case, le conseiller aura 8 388 608 grains, alors que le général n’en aura que 23 001. Calculez le nombre de grains obtenus par chacun à mi-échiquier, sur la 32ème case. Puis sur la 64ème case. Dans ce conte, nous avons rencontré à nouveau les deux catégories de suites de nombres évoquées précédemment : – celle dont la variation absolue entre deux nombres successifs est constante ( +1000 ), à savoir la suite de nombres de grains de blé pour le général en chef, – celle dont la variation relative entre deux nombres successifs est constante ( × 2 ), à savoir la suite de nombres de grains de blé pour le conseiller.  Le nombre de grains obtenus sur la dernière case pour le conseiller est réellement astronomique, malgré la modestie – apparente – de la demande. En effet, si l’on estime qu’un grain de blé pèse 0,05 g, on obtient un tonnage de : 9 223 372 036 854 775 808 × 0,05 ≈ 4,6 ×1017 g. Soit : 4,6 ×1017 ×10−6 = 4,6 ×1011 tonnes. Or la production mondiale de blé est actuellement d’environ 600 millions de tonnes par an. Pour remplir cette case, il faudrait donc : 4 6 10 6 10 0 77 10 770 11 8 , 3 , × × ≈ × = ans ! !  Nos calculs n’ont porté que sur les nombres de grains posés sur chaque case, et non pas sur le nombre total des grains situés sur l’échiquier. Mais ces deux totaux reflètent le même écart. Deux formules permettent de calculer directement la somme des 64 nombres de chacune des deux suites, mais elles ne seront vues qu’en Terminale. Pour l’instant, on peut se contenter par exemple d’utiliser un tableur. On obtient pour le général en chef 2 016 064 g rains (environ 100 kg) et pour le conseiller environ 1,8 ×1019 grains. Commentaire  Remarque 162 Séquence 5-MA40 A Suites de nombres. Notations  Suites numériques Comme nous l’avons vu dans les deux activités d’introduction, on a souvent à travailler avec des « listes de nombres «, listes dont les nombres sont énumérés dans un ordre précis : l’ordre chronologique dans le cas des populations de bactéries, l’ordre des cases de l’échiquier dans le cas des nombres de grains de blé. Il est donc assez pratique de numéroter ces nombres lorsqu’ils ne le sont pas. Pour les populations de bactéries, on peut noter chaque valeur avec la lettre de la population correspondante et avec le numéro du jour correspondant. Pour la population A on peut noter : A1 = 10,00 A2 = 10,05 A3 = 10,07 A4 = 10,08 A5 = 10,04 A6 = 10,09 A7 = 10,05 A8 = 10,08 A9 = 10,11 A10 = 10,05 De la même façon on a : B1 = 3,00 B5 = 3,08 C1 = 5,00 C2 = 4,65 C5 = 3,7403 D1 = 10,00 D7 = 9,82 E1 = 20,00 E2 = 22,00 E4 = 26,62 De même, pour les nombres de grains de blé sur l’échiquier, on peut noter chaque nombre avec la lettre g pour ceux correspondant au général en chef ou la lettre c pour ceux du conseiller, et avec le numéro de la case correspondante. Pour le général en chef : g1 = 1 (grain sur la case n°1) g2 = 1 001 (grains sur la case n°2) g3 = 2 001 g4 = 3 001 g16 = 15 001 g64 = 63 001 Pour le conseiller : cc1 = 1 (grain sur la case n°1) cc2 = 2 grains sur la case n°2) cc 3 = 4 cc 4 = 8 cc16 = 32 768 cc64 = 9 223 372 036 854 775 808. Définitions Une suite numérique est une liste de nombres « numérotés «. Chacun de ces nombres est appelé un terme de la suite. On donne généralement un nom à une suite numérique, en la notant par une lettre. Dans les exemples précédents on pourra parler de la suite A, de la suite B, de la suite g. On note habituellement les termes de la suite avec la même lettre, numérotée : on peut numéroter avec un indice A1, A2,g1,g16 (on lit « g-seize «, ou « g-indice seize «), ou de manière fonctionnelle A(1), A(2),g(1),g(16) (on lit « g de seize «). On dit que B9 est le terme d’indice 9, ou le terme de rang 9, de la suite B. On note parfois une suite numérique sous la forme : suite (An ) pour la suite A. L’indice n n’a pas de valeur particulière, il est représentatif de l’ensemble des indices. ➠ Exemple Notation Vocabulaire  Remarque Cours Séquence 5-MA40 163 Suivant les circonstances, on numérote les termes d’une suite U à partir de 1 : U1, U2, U3 , … etc. ou à partir de 0. On a alors : U0 , U1, U2, … etc. Le premier terme d’une suite est donc parfois U0 , parfois U . 1  Différentes façons de définir une suite numérique Dans la plupart des situations, les suites numériques que nous aurons à étudier proviennent de la traduction de situations concrètes (ou presque). Parfois elles seront définies directement de façon mathématique. Toujours est-il que nous rencontrerons essentiellement trois types de suites. – Celles que l’on ne peut pas définir autrement qu’en en donnant tous les termes, car il n’y a pas de « formule « permettant de les calculer ; c’est le cas de la suite A dans les exemples d’introduction. On n’en dira rien de particulier, puisque leur étude reste très limitée. – Celles où l’on donne une « formule « permettant de calculer directement chaque terme. On dit qu’elles sont définies par une formule explicite. On donne la suite U définie par : Un = 2n2 +1 (on dit que Un est le terme général de la suite). Calculons U , U , U , U , U 0 1 2 3 13 . On a : U0 = 2× 02 +1= 1 U1 = 2×12 +1= 2+1= 3 U2 = 2× 22 +1= 8 +1= 9 U3 = 2× 32 +1= 18 +1= 19 U13 = 2×132 +1= 338 +1= 339. Il faut bien comprendre dans la formule donnant le terme général de la suite, que le « n « intervenant dans la formule est le même que l’indice. Pour calculer un terme de rang donné, il faut donc remplacer ce « n « par le rang donné.  On donne la suite V définie par : Vn n n = + + 2 1 ( Vn est le terme général de la suite). Calculez V , V , V , V , V 0 1 2 3 13 .  Trouvez une formule pour définir de façon explicite le terme ccn de la suite c (nombre de grains pour le conseiller) de l’activité 2.  Trouvez une formule pour définir de façon explicite le terme gn de la suite g (nombre de grains pour le général en chef) de l’activité 2.  Trouvez une formule pour définir de façon explicite le terme Bn de la suite B (population bactérienne B) de l’activité 1.  Trouvez une formule pour définir de façon explicite le terme Cn de la suite C (population bactérienne C) de l’activité 1. – Celles où l’on donne le premier terme, et une « formule « permettant de calculer chaque terme à l’aide du précédent. On dit qu’elles sont définies par récurrence. O Attention ➠ Exemple Exercices 164 Séquence 5-MA40 On donne la suite U définie par : U U U 1 1 2 2 1 = = − ⎧⎨ ⎪ ⎩⎪ n + n ( Un est le terme général de la suite, Un+1 est le terme suivant Un ). Calculons U2, U3 , U6. On a : U2 = U12 −1= 22 −1= 3 U3 = U22 −1= 32 −1= 8. Contrairement au cas des suites définies de façon explicite, on ne peut pas calculer directement U6 . Il faut calculer les termes intermédiaires. U4 = U32 −1= 82 −1= 63 U5 = U42 −1= 632 −1= 3 968. Et donc : U6 = U52 −1= 3 9682 −1= 15 745 023.  On donne la suite V définie par : V V V 0 1 16 3 2 = = − ⎧⎨ ⎪ ⎩⎪ n + n ( Vn est le terme général de la suite). Calculez V1, V2, V3 , V6.  Trouvez une formule pour définir par récurrence la suite c (nombre de grains pour le conseiller) de l’activité 2.  Trouvez une formule pour définir par récurrence la suite g (nombre de grains pour le général en chef) de l’activité 2.  Trouvez une formule pour définir par récurrence la suite B (population bactérienne B) de l’activité 1.  Trouvez une formule pour définir par récurrence la suite C (population bactérienne C) de l’activité 1. B Suites arithmétiques  Définition Nous avons vu précédemment, que l’on pouvait définir la suite ( gn ) par récurrence, par : g g g 1 1 1 1000 = = + ⎧⎨ ⎪ ⎩⎪ n + n On peut remarquer que les variations absolues de cette suite sont constantes. Pour n’importe quel indice, on a : gn +1−gn = 1000. Cette suite est donc de la même catégorie que les suites ( Bn ) et ( Dn ). D’ailleurs on peut les définir par récurrence. Pour ( Bn ) on a : B B B 1 1 3 0 02 = = + ⎧⎨ ⎪ ⎩⎪ n + n , et on observe que la formule de récurrence est analogue à celle de la suite ( gn ). Donnez la définition par récurrence de la suite ( Dn ). ➠ Exemple Exercices Exercice Séquence 5-MA40 165 C’est cette catégorie de suites qui va nous intéresser ici. Définitions On dit qu’une suite numérique est une suite arithmétique si l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre a. Le nombre a est appelé la raison de la suite. La raison de la suite est aussi la variation absolue entre deux termes consécutifs. On retrouve le fait que cette variation absolue est constante.  Formules définissant une suite arithmétique On vient de voir qu’une suite arithmétique peut être définie par récurrence. Propriété Une suite arithmétique U de raison a peut être définie par récurrence par : U U U 0 n +1 = n + ⎧⎨ ⎪ ⎩⎪ a Mais on peut également calculer explicitement le terme général Un d’une suite arithmétique. D’ailleurs on l’a fait pour les suites g et B. Propriété Une suite arithmétique U de raison a peut être définie explicitement par : Un = U0 +n ×a ou Un = U1+(n −1)×a Ces formules s’expliquent en regardant comment on va calculer les termes successifs de la suite en utilisant la formule de récurrence (ou la variation absolue constante). Supposons que l’on parte de U0 et que l’on ajoute a pour passer d’un terme au suivant : U0 U1 = U0 +a U2 = U0 + 2a U3 = U0 + 3a … … Un = U0 +na + a + a + a + a + a Si l’on part de U1 , on ajoute la raison une fois de moins (par exemple U2 = U1+a ).  On donne la suite U définie par : U U U 0 1 4 1 5 = = − ⎧⎨ ⎪ ⎩⎪ n + n , Calculez U , U , U , U 1 2 3 13 . Donner la formule explicite définissant Un en fonction de n.  On donne la suite U définie par : Un = 7+ 0,1n. Calculez U , U , U , U , U 0 1 2 3 13 . Donner la formule définissant ( Un ) par récurrence.  On donne la suite U définie par : U U U 1 1 4 1 5 = = − ⎧⎨ ⎪ ⎩⎪ n + n , Calculez U , U , U , U 1 2 3 13 . Donner la formule explicite définissant Un en fonction de n.  Remarque Explication Exercice 166 Séquence 5-MA40  On donne la suite arithmétique U de premier terme U0 = 5 et de raison (– 0,5). Calculez U , U , U , U 1 2 3 13 . Donner la formule explicite définissant Un en fonction de n.  On considère une suite arithmétique U dont on connaît deux termes : U5 = 5 et U8 = 0,8. Calculez la raison de cette suite arithmétique. Calculez U , U , U , U 1 2 3 13 . Donner la formule explicite définissant Un en fonction de n.  Sens de variation d’une suite arithmétique Représentation graphique Comme on l’a vu dans la première activité, on peut faire une représentation graphique d’une suite numérique, en mettant en abscisse les indices, et en ordonnée les valeurs Un . Pour une suite arithmétique de raison a, on aura les points ( n ; Un ), c’est-à-dire ( n ; U0 +n ×a ). Or U0 et a sont des constantes. Donc ces points seront alignés puisque leur ordonnée est une fonction affine de leur abscisse (voir cours de troisième et de seconde) : U0 +n ×a =f (n ) où f est la fonction affine définie par f (x ) =ax +U0. Représentons les six premiers termes de la suite arithmétique U, de premier terme U0 = −2 et de raison 1,5. Même chose avec la suite arithmétique V de premier terme V1 = 5 et de raison (– 0,5). On a pour U : U1 = U0 +1,5 = −0,5 U2 = U1+1,5 = 1 U3 = U2 +1,5 = 2,5 U4 = U3 +1,5 = 4 U5 = U4 +1,5 = 5,5. Pour V : V2 = V1− 0,5 = 4,5 V3 = V2 − 0,5 = 4 V4 = V3 − 0,5 = 3,5 V5 = V4 − 0,5 = 3 V6 = V5 − 0,5 = 2,5. ➠ Exemple termes de U indices 0 -1 -2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 termes de V indices 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Séquence 5-MA40 167 Propriété Les points ( n ; U0 +n ×a ) représentant une suite arithmétique sont alignés. Ces représentations graphiques nous montrent une suite arithmétique croissante, U, et une décroissante, V. Pour savoir comment varie une suite numérique U, il faut connaître le signe de toutes les différences Un +1−Un . Or pour une suite arithmétique, on sait que ces différences (les variations absolues) sont constantes : c’est la raison de la suite. Il suffit donc de connaître la raison d’une suite arithmétique pour savoir si la suite est croissante ou décroissante. Propriété Une suite arithmétique de raison positive est croissante. Une suite arithmétique de raison négative est décroissante.  Ce type de croissance, correspondant à une suite arithmétique, est parfois appelée croissance arithmétique, ou plus souvent croissance linéaire.  Une suite arithmétique de raison nulle est une suite constante.  Remarque 168 Méthodes Ce que je dois savoir faire Comment reconnaître qu’un suite est arithmétique ? Dans les exercices que l’on aura à traiter, on aura souvent à traduire une situation concrète en suite numérique, puis à reconnaître la nature de cette suite. Voyons comment reconnaître et montrer qu’une suite est arithmétique. Pour montrer qu’une suite U est arithmétique, on calcule la différence Un +1−Un (variation absolue entre un terme et son suivant), et on montre que cette différence est constante, c’est à dire qu’elle ne dépend pas de l’indice « n « intervenant dans le calcul. La constante trouvée sera alors la raison de la suite arithmétique.  Un village de 1000 habitants perd 80 habitants par an pour cause de départ ou de décès, et en gagne 110 par naissance ou installation. On note Pn la population du village n années après celle où le village avait 1000 habitants. Calculer P1, P2. Quelle est la nature de la suite ( Pn ) ?  Un village de 1000 habitants perd 10% de ses habitants par an pour cause de départ ou de décès, et en gagne 200 par naissance ou installation. On note Qn la population du village n années après celle où le village avait 1000 habitants. Calculer Q1, Q2. Quelle est la nature de la suite ( Qn ) ?  On a : P1 = 1000 − 80 +110 = 1030 ; P2 = 1030 − 80 +110 = 1060. Il semble que la suite soit arithmétique. Pour le démontrer, calculons Pn +1−Pn pour un indice « n « quelconque. L’énoncé nous dit que : Pn +1 = Pn − 80 +110 = Pn + 30. Donc : Pn +1−Pn = 30. Cette différence est constante, ne dépend pas de « n «, la suite est donc bien une suite arithmétique. Sa raison est 30.  On a : Q1 = 1000 −100 + 200 = 1100 ; Q2 = 1100 −110 + 200 = 1190. On voit dès ces premiers calculs que la suite n’est pas arithmétique, puis que la différence entre les deux premiers termes est 100, alors qu’entre les deux suivants il y a une différence de 90. Comment calculer un terme d’une suite arithmétique ? Pour calculer un terme d’une suite arithmétique de raison a : si l’on connaît le terme précédent, on utilise la formule : Un +1 = Un +a si l’on connaît le premier terme, on utilise la formule : Un = U0 +n ×a. Dans l’exemple  précédent, calculer la population P10. Puis la population P11. Pour calculer P10 , on utilise la formule : P10 = P0 +10 × 30 = 1000 + 300 = 1300. Pour calculer P11, on utilise la formule : P11 = P10 + 30 = 1300 + 30 = 1330. Méthode ➠ Exemple Solutions Méthode ➠ Exemple Séquence 5-MA40 169 Comment calculer la raison d’une suite arithmétique quand on n’en connaît que deux termes ? Pour calculer la raison d’une suite arithmétique dont on connaît deux termes Up et Uq on calcule la différence Uq −Up . Cette différence représente ( q −p ) fois la raison a. On a donc : a = − − U U ( ) . q p q p Calculer la raison de la suite arithmétique U dont on connaît deux termes : U4 = 13 et U20 = 53. On a : U20 −U4 = 53−13 = 40. Or cela représente 16 fois la raison. Donc : a = = 40 16 2,5. La raison de la suite arithmétique U est donc 2,5. Méthode ➠ Exemple Séquence 5-MA40 170 Séquence 5-MA40 C Suites géométriques  Définition Passons maintenant à la suite ( ccn ) que l’on a définie par récurrence dans la partie A du cours, par : cc cc cc 1 1 1 2 = = × ⎧⎨ ⎪ ⎩⎪ n + n On peut remarquer que les variations relatives de cette suite sont constantes. Pour n’importe quel indice, on a : cc cc cc cc cc cc n n n n n n + − = − 1 = 2 1. Cette suite est donc de la même catégorie que les suites ( Cn ) et ( En ). D’ailleurs on peut les définir par récurrence. Pour ( Cn ) on a : C C C 1 1 5 0 93 = = × ⎧⎨ ⎪ ⎩⎪ n + n , et on observe que la formule de récurrence est analogue à celle de la suite ( ccn ). Donnez la définition par récurrence de la suite ( En ). C’est cette catégorie de suites qui va nous intéresser ici. Définitions On dit qu’une suite numérique est une suite géométrique si l’on passe d’un terme au suivant en le multipliant toujours par le même nombre b. Le nombre b est appelé la raison de la suite. Regardons quel rapport il y a entre la raison d’une suite géométrique et la variation relative entre deux termes consécutifs, autrement dit son taux d’évolution. Notons V la suite géométrique, et b sa raison. Le taux d’évolution se calcule par : V V V V V V ( )V V n n ( ). n n n n n n + − = × − = − 1 = − 1 1 b b b On retrouve le fait que cette variation relative est constante. Dans la suite du cours, pour garder des calculs simples, et parce que les situations concrètes sont de cette nature, nous ne considèrerons que des suites géométriques de raison positive, et dont le premier terme est positif.  Formules définissant une suite géométrique On vient de voir qu’une suite géométrique peut être définie par récurrence. Propriété Une suite géométrique V de raison b (positive) peut être définie par récurrence par : V V V 0 n +1 = n × ⎧⎨ ⎪ ⎩⎪ b Exercice  Remarque Attention Séquence 5-MA40 171 Mais on peut également calculer explicitement le terme général Vn d’une suite géométrique. D’ailleurs on l’a fait pour les suites c et C. Propriété Une suite géométrique V de raison b (positive) peut être définie explicitement par : Vn V0 = ×bn ou Vn V1 = ×bn −1 Ces formules s’expliquent en regardant comment on va calculer les termes successifs de la suite en utilisant la formule de récurrence. Supposons que l’on parte de V0 et que l’on multiplie chaque terme par b pour obtenir le suivant : V0 V1 = V0 ×b V2 V0 = ×b2 V3 V0 = ×b3 … … Vn V0 = ×bn ×b ×b ×b ×b ×b Si l’on part de V1, on multiplie par la raison une fois de moins (par exemple V2 = V1×b ) .  On donne la suite V définie par : V V V 0 1 4 0 5 = = × ⎧⎨ ⎪ ⎩⎪ n + n , Calculez V1, V2, V3, V7. Donner la formule explicite définissant Vn en fonction de n.  On donne la suite V définie par : Vn . = 7× 0,2n Calculez V0, V1, V2, V3, V7. Donner la formule définissant ( Vn ) par récurrence.  On donne la suite V définie par : V V V 1 1 4 0 5 = = × ⎧⎨ ⎪ ⎩⎪ n + n , Calculez V1, V2, V3, V7. Donner la formule explicite définissant Vn en fonction de n.  On donne la suite géométrique V de premier terme V0 = 5 et de raison 2,5. Calculez V1, V2, V3, V7. Donner la formule explicite définissant Vn en fonction de n.  On considère une suite géométrique V dont on connaît deux termes : V4 = 5 et V6 = 45. Calculez la raison de cette suite géométrique. Calculez V1, V2, V3, V10. Donner la formule explicite définissant Vn en fonction de n.  On considère une suite géométrique V dont on connaît deux termes : V5 = 5 et V8 = 2,56. Calculez la raison de cette suite géométrique. Calculez V1, V2, V3, V10. Donner la formule explicite définissant Vn en fonction de n. Explication Exercice 172 Séquence 5-MA40  Sens de variation d’une suite géométrique Représentation graphique Comme on l’a vu dans la première activité, on peut faire une représentation graphique d’une suite numérique, en mettant en abscisse les indices, et en ordonnée les valeurs Vn . Pour une suite géométrique de raison b, on aura les points ( n ; V0 ×bn ). Ils ne seront pas alignés. Représentons les six premiers termes de la suite géométrique V, de premier terme V0 = 0,5 et de raison 1,5. Même chose avec la suite géométrique W de premier terme W1 = 5 et de raison 0,8. On a pour V : V1 = V0 ×1,5 = 0,75 V2 = V1×1,5 = 1,125 V3 = V2 ×1,5 = 1,6875 V4 = V3 ×1,5 = 2,53125 V5 = V4 ×1,5 = 3,796875. Pour W : W2 = W1× 0,8 = 4 W3 = W2 × 0,8 = 3,2 W4 = W3 × 0,8 = 2,56 W5 = W4 × 0,8 = 2,048 W6 = W5 × 0,8 = 1,6384. Ces représentations graphiques nous montrent une suite géométrique croissante, V, et une décroissante, W. Pour savoir comment varie une suite numérique V, il faut connaître le signe de toutes les différences Vn +1− Vn . Calculons, pour une suite géométrique de premier terme V0 et de raison b, ces différences : Vn Vn V V V ( ). n n n + − = × + − × = × − 1 0 1 b 0 b 0 b b 1 Puisqu’on ne s’intéresse qu’aux suites géométriques de raison positive, et dont le premier terme est positif, le nombre V0 ×bn est positif. ➠ Exemple termes de V indices 0 1 2 3 1 2 3 4 5 termes de W indices 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 Séquence 5-MA40 173 Le signe de Vn +1− Vn est donc le même que le signe de (b −1). Ce signe ne dépend donc pas de l’indice où est fait le calcul, mais est toujours le même : il ne dépend que de b. Il suffit donc de connaître la raison d’une suite géométrique pour savoir si la suite est croissante ou décroissante. Propriété Une suite géométrique de premier terme V0 positif et de raison b positive : est croissante si b > 1 est décroissante si 0