Poisson, loi de - mathématiques.

Poisson, loi de - mathématiques. 1 PRÉSENTATION Poisson, loi de, loi de probabilités discrètes, ou fonction de distribution discrète, associée à l'étude des phénomènes caractérisés par un comptage effectué dans une unité fondamentale, telles les unités de temps, d'espace, de fréquence, d'énergie, etc. 2 DÉFINITION ET CARACTÉRISTIQUES Toute variable X résultant d'une expérience aléatoire est dite variable aléatoire ; si, de plus, elle correspond au nombre de phénomènes observés (comptage) par unité fondamentale, elle suit en général une loi type, dite loi de Poisson de paramètre ?, notée P?, et sa fonction de probabilité est telle que : où e est la notation usuelle de la fonction exponentielle. On appelle alors variable aléatoire de Poisson, toute variable aléatoire dont la loi est de Poisson. L'espérance mathématique E[X] et la variance Var(X) de la fonction de probabilité d'une variable aléatoire de Poisson ont la propriété remarquable d'être toutes deux égales au paramètre de la loi de Poisson : où D est l'ensemble des valeurs possibles de la variable aléatoire X. La fonction de probabilité de la loi de Poisson est une fonction décroissante puisque l'exposant de la fonction exponentielle intervenant dans son expression mathématique est négatif (e -?), et que la variation d'une fonction exponentielle l'emporte sur celle des fonctions de puissance (?n), quelle que soit la valeur de l'exposant n. Lorsque le paramètre ? est très grand, on peut effectuer une approximation de la loi de Poisson par la loi de Gauss, dite loi normale, affectée d'une moyenne et d'une variance toutes deux égales à ? ; la fonction de probabilité F(n = x) associée à la loi normale est alors telle que : 3 ORIGINE, UTILISATION ET INTERPRÉTATION La loi de Poisson porte le nom du physicien et mathématicien français Siméon Denis Poisson qui l'a énoncée en 1837 à partir de l'étude des limites de la loi de probabilité binomiale intervenant en analyse combinatoire et dont la loi de probabilités est telle que : P(X = k) = pk qn-k où sont les coefficients binomiaux, tels que : Ces coefficients interviennent dans le binôme de Newton de formule : La loi de Poisson est une des lois de probabilités les plus utilisées en analyse statistique dès lors que les variables aléatoires sont de nature discrète, c'est-à-dire qu'elles adoptent des valeurs dans un intervalle D, fini ou infini, mais dénombrable, tel l'ensemble des entiers naturels ou une de ses parties. En associant à chacune des valeurs possibles n, définies dans un intervalle D d'une variable aléatoire de Poisson X, la probabilité de l'obtenir, on obtient la loi de probabilité, dite encore fonction de probabilité discrète, notée P(n), ou encore fonction de répartition discrète notée F(n), de cette variable aléatoire. Outre la loi de Poisson, parmi les lois de probabilités discrètes les plus utilisées figurent la loi de Bernoulli, la loi binomiale, la loi binomiale négative, la loi géométrique, la loi multinomiale et la loi hypergéométrique. Comme l'une des propriétés de la loi de Poisson est la très grande probabilité qu'un deuxième événement succède immédiatement au premier, certains y voient une illustration mathématique de la « loi dite de Murphy «, selon laquelle un désagrément survient rarement seul. Si la loi de Poisson est très utilisée dans de nombreuses disciplines scientifiques lors d'expérimentations, telles la physique nucléaire pour étudier le nombre de particules émises par une substance radioactive, ou encore la microbiologie pour surveiller la multiplication des bactéries dans une préparation biologique, elle est également très utilisée dans les sciences sociales, pour mener des études statistiques (nombre d'accidents survenant à un assuré ; nombre de visites à un guichet, etc.). Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.