équivalent.

équivalent. adj. MATHÉMATIQUES : deux objets mathématiques sont dits équivalents lorsqu'ils ont une même caractéristique, c'est-à-dire lorsqu'il existe une fonction prenant pour chacun d'entre eux la même valeur. Précisément, une relation binaire R dans un ensemble E est appelée relation d'équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive. Lorsque (x,y) sont liés par une relation d'équivalence, on dit que les éléments x et y sont équivalents. On écrit souvent alors : x ~ y ou x B y [R] et on lit « x est congru à y modulo R «. Exemple fondamental : soit f une application de E dans un ensemble F. La relation binaire définie par les couples (x, y) d'éléments de E tels que f (x) = f (y) est une relation d'équivalence, dite associée à f . L es éléments de E se répartissent alors en classes (dites « classes d'équivalence «) à l'intérieur desquelles tous les éléments sont équivalents les uns aux autres. Les classes d'équivalence constituent un nouvel ensemble, appelé quotient de E par R et noté E/R. Les exemples de relations d'équivalence abondent dans toutes les branches des mathématiques et dans leurs applications. La relation binaire définie par les couples de droites ayant même direction est une relation d'équivalence : c'est le parallélisme. La plupart du temps, on montre qu'une relation binaire est une relation d'équivalence en prouvant qu'elle est associée à une application f convenablement choisie. Fonctions équivalentes. Un exemple classique de relation d'équivalence est fourni par l'analyse. Soient f et g des fonctions numériques définies sur un intervalle I, ne s'annulant pas sur cet intervalle. On dit que f et g sont équivalentes au voisinage d'un point a si le rapport f/g admet 1 pour limite au point a. (Le point a peut être un élément de I ou une extrémité de I, éventuellement + ¥ ou - ¥ .) On note alors f ~ g. La relation binaire ainsi définie est une relation d'équivalence et signifie que la différence f - g est négligeable devant g : f - g = o(g). Voir Landau. Matrices équivalentes. Lorsque deux matrices M et M' peuvent représenter la même application (à des changements de bases près), on dit que M et M' sont équivalentes ; il existe alors, et alors seulement, deux matrices inversibles P et Q telles que M' = PMQ. L'application associée à cette relation d'équivalence est le rang : deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang (voir ce mot). Complétez votre recherche en consultant : Les corrélats classe - 3.MATHÉMATIQUES congruence fonction - 2.MATHÉMATIQUES Landau Edmund matrice - 2.MATHÉMATIQUES rang réflexive (relation) symétrique (relation) transitive (relation)