fractal.
Publié le 27/10/2013
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fractal. n.m. et adj. MATHÉMATIQUES : objet ou courbe dont l'essence même est d'apparaître indéfiniment brisé (fractus, en latin) à quelque échelle d'observation que l'on se place. Les courbes fractales ont été particulièrement étudiées récemment par Szolem Mandelbrojt, qui les a popularisées. Le premier exemple de fonction continue n'ayant de dérivée en aucun point est donné par Karl Weierstrass en 1872 ; il s'agit d'une fonction définie par la somme d'une série : À la suite des remarques de Georg Cantor et Richard Dedekind (1873) sur la possibilité de mettre en bijection un segment et l'intérieur d'un carré, David Hilbert, Giuseppe Peano, Van Koch, etc., proposèrent quelques exemples de courbes que l'on qualifie aujourd'hui de fractales. Au début du XXe siècle, Owen Williams Richardson avait remarqué que la longueur d'une côte dépendait curieusement de l'échelle de la carte sur laquelle on la mesurait ; cette remarque fut exploitée par Felix Hausdorff, qui développa une nouvelle théorie de la dimension : la dimension d'homothétie d'un objet est alors un nombre qui peut être fractionnaire et traduit le fait que cet objet « remplit « l'espace d'une manière intermédiaire entre celle d'une courbe et celle d'une surface, ou entre celle d'une surface et celle d'un volume. L'idée est, en bref, la suivante : imaginons un insecte explorant « complètement « un objet fractal en parcourant une certaine distance ; s'il fait des pas k fois plus petits, l'exploration complète de l'objet lui demandera certainement de parcourir une distance dk plus grande ; ce nombre d (lorsqu'il est indépendant de k et de la distance parcourue) est, par définition, la dimension d'homothétie de l'objet fractal. Il est remarquable de constater que la dimension d'homothétie de la côte nord de la Bretagne est de l'ordre de 1,3 : ce n'est donc ni une courbe de dimension 1, ni une surface de dimension 2. Complétez votre recherche en consultant : Les corrélats analyse - 2.MATHÉMATIQUES Hausdorff Felix turbulence Les livres fractal, page 1973, volume 4