matrice.
Publié le 09/11/2013
Extrait du document
«
- la multiplication d'une matrice par un nombre :
(on a multiplié chaque terme de la matrice par ce nombre) :
- la multiplication d'une matrice à n lignes et p colonnes par une matrice à p lignes et
r colonnes :
(on a « couché » chaque colonne de la deuxième matrice sur chaque ligne de la
première en effectuant le produit scalaire des deux vecteurs correspondants, comme
ceci) :
On ne peut pas multiplier entre elles deux matrices quelconques ; cependant, on peut
multiplier entre elles des matrices carrées de même ordre.
On peut aussi multiplier une
matrice à n lignes et p colonnes par une matrice à p lignes et 1 colonne (représentant
les coordonnées d'un vecteur de u2) : le résultat est une matrice à n lignes et
1 colonne (représentant les coordonnées d'un vecteur de un) :
Muni de l'addition et de la multiplication par un nombre, l'ensemble des matrices à n
lignes et p colonnes (souvent noté m n,p ) a une structure d'espace vectoriel, d'ailleurs
isomorphe à unp.
Et, muni en plus de la multiplication, l'ensemble des matrices carrées d'ordre n a une
structure d' anneau (non commutatif), et donc une structure d' algèbre (voir ces mots ).
Applications linéaires et matrices.
On sait comment il est possible d'associer une suite de nombres à tout vecteur
lorsqu'une base a été choisie dans un espace ( voir coordonnées ).
De la même
manière, lorsque des bases ont été choisies dans deux espaces E et F, il est possible
d'associer une matrice à toute application linéaire de E dans F.
Précisément, soit ( e1, e2, ..., en) une base de E et ( f1, f2, ..., fp) une base de F, et
soit % une application linéaire de E dans F.
L'application % est entièrement caractérisée
par la donnée, dans F, des n vecteurs transformés des vecteurs de base de E : %(e1),
%(e2), ..., %(en) ; en effet, tout vecteur V = x1e1 + x2e2 +...+ xnen de E est tel que
%(V) = x1 %(e1) + x2 %(e2) + ...+ xn %(en) et %(V) est donc bien connu à partir des
coordonnées de V si l'on se donne la liste %(e1), %(e2), ..., %(en).
La matrice dont les p
colonnes sont les coordonnées des %(ei) dans la base de F caractérise donc % ; cette
matrice % est appelée « matrice de l'application linéaire % par rapport aux bases ( ei)i = 1,
...n et ( fj)j = 1, ... p ».
Les p composantes de %(V) sont alors les éléments de la matrice colonne.
»
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