morphisme.

morphisme. n.m. MATHÉMATIQUES : application transportant une structure sur une autre. Précisément, soient E et F des ensembles munis d'opérations notées respectivement ^ et T ; on dit qu'une application f e st un morphisme de (E, ^) dans (F, T) si, pour tout couple (x, y) d'éléments de E : f ( x ^ y) = f ( x ) T f ( y ) La notion de morphisme est l'une des plus fécondes des mathématiques dites modernes ; elle permet en effet d'expliciter les identités de structure et, donc, de transporter dans un ensemble les propriétés d'un autre. Elle est aussi un guide précieux lors de l'étude d'un nouvel ensemble dont on a reconnu les parentés de structure avec d'autres ensembles. Par exemple, la reconnaissance de l'isomorphisme entre les nombres complexes munis de la multiplication et les similitudes de centre donné du plan, munies de la composition des transformations, est une véritable révélation : la résolution de problèmes géométriques en termes algébriques complexes semble en effet parfois un véritable tour de passe-passe mathématique. Par exemple, l'exponentielle est un morphisme de ( u,+) dans (u,×) ; en effet = e a × e b. L'application qui, à une application linéaire d'un espace vectoriel E de dimension n, fait correspondre sa matrice est un morphisme d'anneau de ( »(E, E),+,0) dans (¼n,n,+,×). Voir linéaire et matrice. ea+b L'application qui, à un polynôme de degré 3 ou plus P : x _ ax 3 + bx2 + cx + d, fait correspondre le quadruplet ( a, b, c, d ) est un morphisme d'espace vectoriel de ( §3,+,.) dans (u4,+,.). Le mot morphisme est généralement précédé d'un préfixe qui précise la nature du lien existant entre les structures transportées. En parlant d'homomorphisme, on insiste sur le transport de structures opératoires (et non topologiques par exemple). Un endomorphisme est un morphisme d'un ensemble dans lui-même ; par exemple, les applications linéaires sont les endomorphismes d'espaces vectoriels. Un isomorphisme est une bijection dont la réciproque est aussi un morphisme ; par exemple, le groupe des isométries du rectangle (muni de la composition des transformations) est isomorphe au groupe ({Ø,1}2,+) par l'isomorphisme : (0,0) _ identité (0,1) _ symétrie d'axe D (1,0) _ symétrie d'axe D' (1,1) _ demi-tour autour de 0. Un automorphisme est une bijection d'un ensemble dans lui-même dont la réciproque est aussi un morphisme ; par exemple, dans un groupe, la translation d'élément t : x _ t + x est un automorphisme de groupe. Complétez votre recherche en consultant : Les corrélats automorphisme endomorphisme homomorphisme isomorphisme - 2.MATHÉMATIQUES linéaire matrice - 2.MATHÉMATIQUES