TOPOLOGIE

Source: http://www.peiresc.org/DINER/Lexique.pdf

 

La topologie est cette partie des mathématiques qui cherche à préciser la notion de continuité. Elle étudie les propriétés des figures et de leurs dispositions qui se conservent par homéomorphisme. La topologie traite de la recherche des invariants dans une géométrie débarrassée de toute idée de mesure ou de distance On peut la considérer comme une variante de la géométrie avec une grande extension des objets géométriques. Son concept central d'homéomorphisme ne nécessite l'intervention d'aucun concept géométrique comme la distance, la linéarité……pas plus d'ailleurs que sa notion essentielle de transformation continue. Elle considère comme des situations géométriques semblables des situations qui se déduisent l'une de l'autre par transformation continue, à la différence de la géométrie euclidienne qui n'envisage que des équivalences par des transformations qui conservent les distances et les angles. En géométrie euclidienne, deux objets sont équivalents si on peut transformer l'un en l'autre à l'aide d'isométries (rotations, translations, réflexions, etc.…) c'est-à-dire, des transformations qui conservent la valeur des angles, des longueurs, des aires, des volumes et autres. En topologie, deux objets sont équivalents dans un sens beaucoup plus large. Ils doivent avoir le même nombre de morceaux, de trous, d'intersections etc.… En topologie, il est permis de doubler, étirer, tordre etc.…des objets mais toujours sans les rompre, ni séparer ce qui est uni, ni coller ce qui est séparé. Par exemple, un triangle est topologiquement la même chose qu'un cercle, c'est-à-dire qu'on peut transformer l'un en l'autre sans rompre et sans coller. Mais un cercle n'est pas la même chose qu'un segment (on doit casser le cercle pour obtenir le segment). L'objet central de la topologie est l'étude des propriétés topologiques invariantes par homéomorphisme d'un espace topologique à un autre. Au titre de ces propriétés invariantes on trouve la connexité, la compacité et la dimension. Historiquement, la topologie a succédé à la géométrie, dont elle est une généralisation ; mais mathématiquement, la topologie précède la géométrie, qui n'en est qu'un cas particulier : les manuels et traités qui, comme celui de Bourbaki, procèdent du général au particulier, commencent ainsi par traiter de la topologie, dont dérivent les concepts et théorèmes de la géométrie.