dans quelle mesure les maths du lycée permettent elles de déterminer une position à partir de données satellites?

« GO Maths Dans quelle mesure les mathématiques du lycée permettent-elles de déterminer une position à partir de données satellites ? Imaginez un instant que nous soyons privés de tout système de navigation moderne.

Plus de carte, plus de GPS, plus de repères visuels fiables.

Mais il ne nous resterait plus qu’une information brute, presque abstraite : des données issues de satellites de géolocalisation. Face à une telle situation, une question se pose naturellement : serions-nous encore capables, avec les seuls outils mathématiques enseignés en terminale, de retrouver notre position dans l’espace ? Cette interrogation n’est pour autant pas si éloignée de la réalité.

Que ce soit en voiture ou dans la rue, l’itinéraire proposé par Google Maps n’a rien de magique : il repose sur des données satellites qui permettent de calculer des positions avec une grande précision.

Ces données satellites, que nous n’apercevons jamais directement, ne sont en quelques sortes que l’envers d’un décor monté de toutes pièces pour nous simplifier la vie. Alors, une question particulière se pose : Dans quelle mesure les mathématiques du lycée permettent-elles de déterminer une position à partir de données satellites ? Nous verrons pour cela, comment déterminer une position à partir de distances dans un 1er temps, puis comment rendre ce modèle plus réaliste en introduisant une nouvelle information : le temps, avant d’étudier comment corriger ses limites grâce à l’introduction d’une fonction modélisant les erreurs éventuelles. I. Déterminer une position à partir des distances Pour commencer, partons d’une situation très concrète : nous cherchons à déterminer la position d’un objet dans l’espace, par exemple une ourse équipée d’une balise GPS. On note cette position inconnue sous la forme d’un point : M(x,y,z) où x, y et z représentent respectivement les coordonnées dans l’espace (abscisse, ordonnée et côte). Puis, considérons, dans un système GPS simplifié, plusieurs satellites étant placés à des positions connues.

Chacun d’eux est capable de mesurer sa distance jusqu’à l’objet et nous avons connaissances de ces informations. La première étape importante est la suivante : en mathématiques, tous les points situés à une même distance d’un point donné forment une sphère.

Cela signifie que chaque satellite ne donne pas directement une position, mais un ensemble de positions possibles, organisées dans l’espace. Par exemple, si un satellite est situé en un point S1(−3,0,3), alors la condition “la distance entre M et S1 est connue et vaut racine de 13” se traduit par l’équation : (x-3)²+y²+(z+3)²=13 Il est important ici de comprendre ce que signifie une expression comme (x-3)²+y²+(z+3)²=13.

Cela représente simplement la distance horizontale entre les deux points, mais élevée au carré pour éviter les valeurs négatives et pour travailler en géométrie dans l’espace de manière rigoureuse. Chaque satellite de notre système, comme sur ce schéma les représentant au total de 3, fournit donc une équation de ce type, correspondant à une sphère. Ainsi, la position cherchée correspond à l’intersection de plusieurs sphères.

Autrement dit, on cherche un point qui appartient simultanément à toutes ces surfaces. Cependant, un problème apparaît immédiatement : ces équations contiennent des termes au carré, comme y².

En mathématiques, on appelle cela des équations quadratiques, c’est-à-dire des équations dont les variables apparaissent au second degré i.e.

au carré.

Et ce type d’équations s’avère difficile à résoudre directement lorsqu’il y en a plusieurs termes au carré simultanément. C’est ici qu’intervient une idée essentielle du programme de terminale : la simplification par combinaison des équations. En soustrayant deux équations de sphères, on observe un résultat très utile : les termes au carré se neutralisent.

Cela s’explique par le fait que les mêmes expressions apparaissent dans chaque équation et s’annulent lors de la soustraction. On obtient alors une équation beaucoup plus simple, de la forme : ax+by+cz=d Une telle équation représente non plus une sphère, mais un plan dans l’espace. En effet, un plan peut être visualisé comme une surface infinie, totalement plate, qui s’étend dans toutes les directions. Ainsi, chaque paire de satellites permet de transformer une information sphérique en contrainte plane. Avec deux satellites, on obtient donc deux plans.

Et un résultat fondamental du programme de géométrie de terminale stipule que l’intersection de deux plans non parallèles est forcément une droite. À ce stade, la situation est donc la suivante : nous avons réduit un problème complexe dans l’espace à une droite.

Cela signifie que la position recherchée n’est pas encore déterminée précisément, mais qu’elle appartient à une infinité de points alignés.

Ainsi, il apparait envisageable de déterminer la position d’un point si l’on connait ses données satellites associées, puisque cela revient à trouver un déterminer un point sur une droite. II. RÉDUIRE L’INCERTITUDE GRÂCE À UNE REPRÉSENTATION PARAMÉTRIQUE Pour aller plus loin dans notre analyse, il faut maintenant exploiter cette droite obtenue précédemment. En mathématiques, une droite dans l’espace peut être décrite à l’aide d’une représentation dite paramétrique.

Cela signifie que l’on exprime les coordonnées d’un point de la droite en fonction d’un paramètre extérieur, généralement noté t, qui est une inconnue, c’est-à-dire un terme qui varie. On écrit alors : On écrit cette représentation paramétrique sous forme d’un système, ce qui permet de voir comment chaque coordonnée évolue en fonction du paramètre t.

Concrètement cela signifie que pour une valeur de t, on parcourt tant de points sur la droite. Autrement dit, au lieu de chercher trois inconnues indépendantes x, y et z, on réduit le problème à une seule variable, t.

Notons également, que cette représentation est composée des coordonnées d’un point connu de cette droite et de son vecteur directeur. Concernant notre analyse, il s’agit d’une simplification majeure, car elle transforme un problème tridimensionnel en un problème à une seule dimension. Cette étape est donc fondamentale. On remplace alors ces expressions dans la troisième équation de sphère, celle correspondant au troisième satellite (de la forme ax+by+cz=d).

En d’autres termes, on remplace x par son expression dans la représentation paramétrique de la droite sur laquelle se trouve notre objet, l’ourse. On obtient alors une équation ne contenant plus que la variable t. Effectivement, après développement, cette équation prend la forme : At²+Bt+C=0 Il s’agit d’une équation dite du second degré.

Cela signifie qu’elle contient un terme au carré, ce qui peut conduire à deux solutions possibles. Pour résoudre ce type d’équation, on utilise un outil fondamental du programme de terminale : le discriminant communément appelé « delta ».

Celui-ci permet de déterminer le nombre de solutions.... »