un périmètre infini peut-il entourer une aire finie

« Je vais donc répondre à la question suivante : « un périmètre infini peut-il entourer une aire finie ?». Nous pourrions tout d’abord prendre l’exemple du carré, figure mathématique connue de tous, afin d’illustrer notre problématique.

Nous savons que p=4c avec c le coté du carré.

De plus a=c2.

Donc a=(p/4)2.

Quand p tend vers + l’infini, p/4 tend vers plus l’infini donc (p/4)2 tend vers plus l’infini. Dans le cas du carré donc, un périmètre infini ne peut entourer qu’une aire infinie.

Si nous prenons l’exemple du triangle équilatéral, autre figure mathématique emblématique, nous savons que A=√ 3/4 a2 et p=3a donc a=p/3 donc A=√ 3/4*(p/3)2.

Quand p tend vers + l’infini, A tend lui aussi vers + l’infini, un périmètre infini ne semble donc une nouvelle fois ne pas pouvoir entourer une aire finie. Cependant, c’est à l’aide de ce triangle équilatéral étudié en classe de CM1 et des connaissances acquises en classe de terminale que nous pouvons démontrer, à l’aide du flocon de von Koch notamment, qu’un périmètre infini peut entourer une aire finie.

Afin de tracer le flocon de von Koch, prenons un triangle équilatéral de coté 1, et coupons chaque segment en 3 parties égales, afin de tracer à nouveau un triangle équilatéral.

Notre segment initial se verra donc transformé en 2 segments, et deux autres segments formants un triangle équilatéral.

A la fin de cette étape, nous pouvons voir que nous sommes passé d’un triangle équilatéral à une étoile.

Si nous répétons à nouveau cette manœuvre nous pouvons observer la formation d’un flocon, d’ou le nom, donc, du flocon de von Koch.

Notons maintenant (Cn) le nombre de côtés de notre figure.

Initialement, nous avions 3 cotés, or la manipulation effectué precedement a multiplié le nombre de cotés par 4.

(Cn) est donc une suite géométrique de raison 4, et nous pouvons donc écrire (Cn)=C0*qn, avec donc c0=3 car il y avais au rang 0 3 cotés, et q=4 car le nombre de cotés se retrouve continuellement multiplié par 4.

On eput également noter (Ln) la longueur de chaque côtés, si l’on observe la manipulation effectuée, on observe que (Ln+1)=1/3Ln, ln est donc une suite géométrique de raison 1/3 et de premier terme 1 (longueur du.... »