Architecture des ordinateurs

 

 

Sur n bits, quels entiers peut-on représenter en binaire ? En complément à 2 ?

 

Représentation binaire sur n bits ; Entiers non signé (positif)

Exemple : n=8

8 bits = 1 octet = 1 o ; représentation binaire du plus petit entier non signé sur 8 bits (00000000)₂ = (0)₁₀ ; représentation binaire du plus grand entier non signé sur 8 bits = (11111111) ₂

 

 

= (2⁷+2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2¹+2⁰)₁₀

 

Résultat : Sur n bits, on peut représenter en binaire que les entiers non signés compris entre 0 et 2ⁿ-1.

 

Remarque : un entier non signé supérieur ou égal à 2ⁿ n’est  pas représentable en binaire sur n bit.

Exemple : n=8

300 ≥ 2⁸ donc 300 n’est pas représentable en binaire sur 8 bits. Par contre sur 9 bits 0 ≤ 300 ≤ 2⁹-1=511

300 est représentable en binaire sur 9 bits.

Représentation en complément à 2.

Exemple : n=8 ; représentation en complément à 2 sur n=8 bits du plus grand entier signé (entier positif ou négatif) = (01111111)₂

 

 

= (2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2¹+2⁰)₁₀ = (2⁷- 1)₁₀ = (127)₁₀

 

Représentation en complément à 2 sur n = 8 bits du plus petit entier signé = (10000000)₂ = (2⁷-2⁸)₁₀ = (-128)₁₀ = (-2⁷)₁₀

 

En complément à 2 sur n= 8 bits, on ne peut représenter que les entiers signés de -2⁷ (=-128) à -2⁷-1 (=127).

Binaire : 0 à 255 (256=2⁸)

Complément à 2 : -128 à 127 (256 entiers)

Négatifs : -128 à -1 (128 entiers)

Positifs : 0 à 127 (128 entiers)

 

Résultats : Sur n bits, on peut représenter en complément à 2 les entiers signés de -2^n-1 à 2^n-1-1

Exemple : n =8

-2^8-1 à 2^8-1-1

-2⁷ (-128) à 2⁷-1 (127)

Fait : Tous les entiers signés en dehors de la plage d’entiers [-2^n-1, 2^n-1-1] ne sont pas représentable en complément à 2 sur n bits.

Exemple : n=8

300 ≥ 2⁷ = 128

n=9

300≥ 2^9-1 = 2⁸ = 256

n=10

2^10-1 (=511) ≥300≥-2^10-1

300 n’est pas représentable en complément à 2 sur 8 et 9 bits. 300 est représentable en complément à 2 sur 10 bits.

long ® on utilise la plus grande taille possible fournie par le matériel actuellement sur un PC. Le standard est 64 bits.

long  ¬ entier non signé

 

Si on dispose de 64 bits pour les long, on peut manipuler des entiers de type long de -2⁶³ à 2⁶³-1.

Si les long sont représentés sur 64 bits, les int sont représentés sur 32 bits.

 

Chapitre 2 : Expression booléennes – Table de vérité

 

L’information dans n ordinateur et représentée par des mots binaires formé avec les 2 valeurs 0 et 1. On appelle ces 2 valeurs des valeurs booléennes.

1 se lit aussi VRAI. 0 se lit aussi FAUX.

 

Opérations :

1-     Opération ET

On note cette opération par un point. On écrit 0.1

Table de l’opération ET :

0.0=0 ; 0.1=0 ; 0.0=0 ; 1.1=1

 

2-     Opération OU

On note cette opération par le symbole +. On écrit 0+1

Table de l’opération OU :

0+0=0 ; 0+1=1 ; 1+0=1 ; 1+1=1

 

3-     Opération NON

On note cette opération en mettant une barre au-dessus de la valeur booléenne.