ATTRACTEUR DE LORENZ

Source: http://www.peiresc.org/DINER/Lexique.pdf

 

L'attracteur de Lorenz est un attracteur étrange vedette de la dynamique non linéaire par son aspect en double lobe sur lequel se produit le mouvement chaotique, laissant penser à un ordre dans le chaos. L'attracteur de Lorenz date de 1963 lorsque le météorologiste Edward Lorenz produit l'analyse d'un système simple de trois équations différentielles couplées extraites d'un modèle de convection atmosphérique. Il fit ressortir des aspects surprenants des solutions de ce système d'équations. En particulier elles sont sensibles aux conditions initiales, ce qui signifie qu'une toute petite différence dans celles-ci s'amplifie exponentiellement avec le temps. Ce type d'imprédictibilité est caractéristique du chaos. Mais parallèlement apparait une figure manifestation d'ordre : les solutions numériques des équations sont des courbes qui s'enroulent et se réenroulent autour d'une curieuse figure à deux lobes, nommée par la suite attracteur de Lorenz. L'instabilité des trajectoires de phase sur l'attracteur de Lorenz s'accompagnait d'une structure géométrique particulière, celle d'un fractal. Pendant près de quarante ans il fut impossible de prouver que les solutions exactes des équations de Lorenz ressembleraient à ces solutions engendrées à l'aide d'approximations numériques tant par leur aspect géométrique que par leur caractère chaotique. L'attracteur de Lorenz demeurait un objet étrange et médiatique produit d'une analyse numérique, dont les résultats peuvent souvent être trompeurs. Ce n'est 24 qu'en 1999 que Warwick Tucker réussit à prouver rigoureusement l'existence de l'attracteur de Lorenz. Résultat phare dans le domaine des systèmes dissipatifs où les résultats rigoureux manquent cruellement. La résolution exacte d'équations différentielles non linéaires n'étant en général pas possible on a recours à l'intégration numérique qui en découpant le temps d'intégration en intervalles aussi petits que l'on veut approche les trajectoires solutions par des lignes brisées. Mais ce faisant on commet deux séries cumulatives d'erreurs : les erreurs de méthode relatives au degré d'approximation du schéma numérique choisi et les erreurs de troncature dues à l'approximation des nombres réels par les nombres en virgule flottante utilisés par les ordinateurs. On affronte alors un terrible paradoxe ; peut on décrire une dynamique chaotique, extrêmement sensible aux conditions initiales, par des solutions calculées approximativement, dont on ne maitrise pas réellement les conditions initiales ? On ne s'étonnera donc pas que les détracteurs de Lorenz ne voient initialement dans son aile de papillon qu'un artéfact numérique. Cet attracteur ne sortira véritablement de l'oubli qu'en 1971 lorsque Ruelle et Takens montrèrent par d'autres arguments qu'il pouvait expliquer l'apparition de régimes turbulents en mécanique des fluides. Réputé à tort être la découverte du chaos déterministe. L'attracteur de Lorenz a joué un rôle déterminant dans l'acceptation de ce nouveau concept. C'est un des tous premiers exemples de l'existence du chaos dans les systèmes physiques réels et non pas dans des objets mathématiques ad hoc comme la transformation du boulanger